Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(12 \iiint_{S} d x d y d z), onde S é a superficie cilíndrica de altura h>0, com a base no plano x y, entre os cilindros x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2, onde b>a>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaS12,dx,dy,dz
sobre o sólido S que é a região no espaço entre os cilindros x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2 de altura h. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o jacobiano de transformação é r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região S fica
0<= z<= h, 0<= theta<= 2pi, a<= r<= b,
e o diferencial de volume transforma-se como
dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral triplaS12,dx,dy,dz =integralz=0^hintegraltheta=0^2piintegralr=a^b12,r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Primeiro calculemos a integral interna em r:
integralr=a^b12,r,dr =12[r^22]a^b =6l(b^2 - a^2r)
Agora a integral em theta e z é
integralz=0^hintegraltheta=0^2pi6l(b^2 - a^2r),dtheta,dz =6l(b^2 - a^2r)times 2pitimes h =12pi,h,(b^2 - a^2)

Resposta

12pi,h,(b^2 - a^2)

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