Nos problemas 13 a 16, converta para coordenadas esféricas e calcule a integral.
(13 \iiint_{S} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde S é a região limitada pela esfera de raio 3 , com centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaSl(raizx^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz,
onde S é a esfera de raio 3 centrada na origem. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, em que usaremos as fórmulas
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com o Jacobiano rho^2sinphi, e os limites
rhoin[0,3], phiin[0,pi], thetain[0,2pi].

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
raizx^2+y^2=rhosinphi, z^2=(rhocosphi)^2=rho^2cos^2phi,
e
dx,dy,dz=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Logo o integrando vira
l(rhosinphi+rho^2cos^2phir),rho^2sinphi =rho^3sin^2phi+rho^4cos^2phisinphi

Passo 3

O triplo integral se escreve como
integral0^2pi!integral0^pi!integral0^3 l(rho^3sin^2phi+rho^4cos^2phisinphir) ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em rho:
integral0^3rho^3,drho=3^44=814, integral0^3rho^4,drho=3^55=2435
Fica então
integral0^2pi!integral0^pi l(tfrac814sin^2phi+tfrac2435cos^2phisinphir) ,dphi,dtheta

Passo 5

Como não há theta no integrando angular, extraímos integral0^2pidtheta=2pi. Definimos
I=integral0^pil(tfrac814sin^2phi+tfrac2435cos^2phisinphir)dphi,
logo o integral total é 2pi,I.

Passo 6

Separamos
I=814integral0^pisin^2phi,dphi +2435integral0^picos^2phisinphi,dphi
Sabemos que
integral0^pisin^2phi,dphi=pi2.
Para a segunda, fazemos u=cosphi, du=-sinphi,dphi, de modo que
integral0^picos^2phisinphi,dphi =integralu=1^-1u^2(-du) =integral-1^1u^2,du =23
Portanto
I=814cdotpi2 +2435cdot23 =81pi8+1625

Passo 7

Multiplicando por 2pi, o resultado final é
2pil(81pi8+1625r) =81pi^24+324pi5

Resposta

integral triplaSl(raizx^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz =81pi^24+324pi5

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