Nos problemas 13 a 16, converta para coordenadas esféricas e calcule a integral.
(13 \iiint_{S} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde
é a região limitada pela esfera de raio 3 , com centro na origem.
(13 \iiint_{S} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a esfera de raio
centrada na origem. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, em que usaremos as fórmulas
com o Jacobiano
, e os limites
,
,
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e
Logo o integrando vira
Passo 3
O triplo integral se escreve como
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Fica então
Passo 5
Como não há
no integrando angular, extraímos
. Definimos
logo o integral total é
.
Passo 6
Separamos
Sabemos que
.
Para a segunda, fazemos ,
, de modo que
Para a segunda, fazemos
Portanto
Passo 7
Multiplicando por
, o resultado final é