Nos problemas de 1 a 6, (a) determine o domínio de
barF, (b) determine barF(t0) se t0 pertence ao domínio de barF, (c) calcule lim barF(t), se existir e (d) determine os pontos onde barF é contínua.
5 barGamma(t)=1t i+(sen 3 t) j ; t0=pi6.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial barGamma(t) definida por
barGamma(t)=1t,i+sin(3t),j
e pede: (a) o domínio de barGamma, (b) o valor barGamma(t0) para t0=pi/6, (c) limtto0barGamma(t), e (d) os pontos de continuidade de barGamma. O conteúdo é análise de funções vetoriais e continuidade.

Passo 2

Para determinar o domínio, lembramos que a componente tfrac1t só faz sentido quando tneq0, enquanto sin(3t) está definida para todo tinR. Assim o domínio é
D=,tinRmid tneq0 =(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Como t0=pi/6 pertence ao domínio, calculamos
barGammal(tfracpi6r) =1pi/6,i+sinl(3cdottfracpi6r),j =6pi,i+sin!l(tfracpi2r),j =6pi,i+1,j

Passo 4

Para o limite em t=0 analisamos cada componente:
a componente em i é 1t, que tende a pminfty quando tto0;
a componente em j é sin(3t), que tende a 0. Como a primeira componente não converge a um número finito, o limite vetorial
limtto0barGamma(t)
não existe.

Passo 5

Uma função vetorial é contínua nos pontos de seu domínio se cada componente for contínua ali. A componente tfrac1t é contínua para tneq0 e sin(3t) é contínua em todo R. Logo barGamma é contínua em todo ponto de (-infty,0)cup(0,infty).

Resposta

(a) (-infty,0)cup(0,infty).
(b) barGammal(tfracpi6r)=6pi,i+1,j
(c) limtto0barGamma(t) não existe.
(d) Contínua para todo tneq0.

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