Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(34{\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}})

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = raizn+4 - raizn+3,
e pede para verificar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona; se tem limite superior ou inferior; e se converge ou diverge. Vamos usar cálculo de derivada (para monotonicidade), testes de sinal (para limites) e racionalização (para o limite).

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, considere a função contínua
f(x) = raizx+4 - raizx+3,
definida em x>=1. Sua derivada é
f'(x) = 12raizx+4 - 12raizx+3 <0,
porque raizx+4>raizx+3 implica 1/raizx+4<1/raizx+3. Logo f'(x)<0 para todo x>=1, o que mostra que f é estritamente decrescente e, por consequência, an+1<an. Assim, a sequência (an) é decrescente.

Passo 3

Cada termo satisfaz
an = raizn+4-raizn+3>0,
então é limitada inferiormente por 0. Além disso, como é decrescente, seu maior valor ocorre em n=1, ou seja
an<= a1=raiz5-2,
logo é limitada superiormente também.

Passo 4

Para encontrar o limite, racionalize a diferença:
an = (raizn+4-raizn+3)(raizn+4+raizn+3) raizn+4+raizn+3 = 1raizn+4+raizn+3
À medida que ntoinfty, o denominador cresce sem limite, então
limntoinftyan=0
Como a sequência é decrescente e limitada, ela converge a 0.

Resposta

A sequência é decrescente, limitada superiormente e inferiormente, e convergente com
limntoinftyan=0

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