Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(34{\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}})
(34{\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}})
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona; se tem limite superior ou inferior; e se converge ou diverge. Vamos usar cálculo de derivada (para monotonicidade), testes de sinal (para limites) e racionalização (para o limite).
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, considere a função contínua
definida em
. Sua derivada é
porque
implica
. Logo
para todo
, o que mostra que
é estritamente decrescente e, por consequência,
. Assim, a sequência
é decrescente.
Passo 3
Cada termo satisfaz
então é limitada inferiormente por
. Além disso, como é decrescente, seu maior valor ocorre em
, ou seja
logo é limitada superiormente também.
Passo 4
Para encontrar o limite, racionalize a diferença:
À medida que
, o denominador cresce sem limite, então
Como a sequência é decrescente e limitada, ela converge a
.
Resposta
A sequência é decrescente, limitada superiormente e inferiormente, e convergente com