Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(19\left{\frac{\ln (1 / n)}{\ln (n+4)}\right})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = ln(1/n)ln(n+4)
quando ntoinfty.
O conteúdo aqui é limite de sequência e propriedades de logaritmo (especialmente comportamento assintótico de ln(n+4) comparado a ln(n)).

Passo 2

Primeiro simplificamos o numerador usando a propriedade ln(1/n) = -ln(n). Assim
an = ln(1/n)ln(n+4) = -ln(n)ln(n+4)

Passo 3

Para avaliar limntoinftyan, dividimos numerador e denominador por ln(n):
an = -ln(n)ln(n+4) = -ln(n)ln(n),l(1+ln(1+4/n)ln(n)r) = -11 + ln(1+4/n)ln(n)
Como ntoinfty, temos ln(1+4/n)sim 4/nto 0 e ln(n)toinfty, logo
ln(1+4/n)ln(n) ;longrightarrow;0
Portanto
limntoinftyan = -11+0 = -1

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty ln(1/n)ln(n+4) = -1

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