Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=e^{-y} \operatorname{sen} x+\frac{1}{3} e^{-3 y} \operatorname{sen} 3 x+z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\left(\frac{\pi}{3}, 0,1\right), \bar{u}=\left(\cos \frac{2 \pi}{3}\right) \bar{i}+\left(\cos \frac{\pi}{4}\right) \bar{j}+\left(\cos \frac{\pi}{3}\right) \bar{k}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y,z)=e^-ysin x+tfrac13e^-3ysin3x+z^2
no ponto l(x0,y0,z0r)=l(tfracpi3,0,1r) calcular
(a) o gradiente nabla f(x0,y0,z0) e
(b) a derivada direcional Dbar uf(x0,y0,z0) na direção do vetor unitário
bar u=(costfrac2pi3) i+(costfracpi4) j+(costfracpi3) k.
Para isso usaremos as derivadas parciais e a definição Dbar uf=nabla fcdotbar u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =e^-ycos x +;e^-3ycos3x,
partial fpartial y =-e^-ysin x -;e^-3ysin3x,
partial fpartial z =2z

Passo 3

Avaliaremos essas derivadas em l(x,y,zr)=l(tfracpi3,0,1r). Como e^0=1, sintfracpi3=tfracraiz32, sinpi=0, costfracpi3=tfrac12 e cospi=-1, temos
partial fpartial xl(tfracpi3,0,1r) =;1cdottfrac12+1cdot(-1) =-tfrac12,
partial fpartial yl(tfracpi3,0,1r) =-1cdottfracraiz32-1cdot0 =-tfracraiz32,
partial fpartial zl(tfracpi3,0,1r) =2cdot1 =2
Logo
nabla fl(tfracpi3,0,1r) =-tfrac12, i -tfracraiz32, j +2, k

Passo 4

Verificamos que bar u é unitário, pois
l(-tfrac12r)^2+l(tfracraiz22r)^2+l(tfrac12r)^2 =tfrac14+tfrac24+tfrac14=1
Assim a derivada direcional é
Dbar uf =nabla fl(tfracpi3,0,1r)cdotbar u =l(-tfrac12r)l(-tfrac12r) +l(-tfracraiz32r)l(tfracraiz22r) +2l(tfrac12r) =tfrac14-tfracraiz64+1 =tfrac5-raiz64

Resposta

(a) nabla fl(tfracpi3,0,1r)=-tfrac12, i-tfracraiz32, j+2, k.
(b) Dbar ufl(tfracpi3,0,1r)=tfrac5-raiz64.

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