Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=e^{-y} \operatorname{sen} x+\frac{1}{3} e^{-3 y} \operatorname{sen} 3 x+z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\left(\frac{\pi}{3}, 0,1\right), \bar{u}=\left(\cos \frac{2 \pi}{3}\right) \bar{i}+\left(\cos \frac{\pi}{4}\right) \bar{j}+\left(\cos \frac{\pi}{3}\right) \bar{k}
f(x, y, z)=e^{-y} \operatorname{sen} x+\frac{1}{3} e^{-3 y} \operatorname{sen} 3 x+z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\left(\frac{\pi}{3}, 0,1\right), \bar{u}=\left(\cos \frac{2 \pi}{3}\right) \bar{i}+\left(\cos \frac{\pi}{4}\right) \bar{j}+\left(\cos \frac{\pi}{3}\right) \bar{k}
Passo 1
O enunciado pede para a função
no ponto
calcular
(a) o gradiente e
(b) a derivada direcional na direção do vetor unitário
.
Para isso usaremos as derivadas parciais e a definição .
(a) o gradiente
(b) a derivada direcional
Para isso usaremos as derivadas parciais e a definição
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliaremos essas derivadas em
. Como
,
,
,
e
, temos
Logo
Passo 4
Verificamos que
é unitário, pois
Assim a derivada direcional é
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)