Nos problemas de 5 a 8 , encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}) e (b) o valor da derivada direcional de f em
(x_{0}, y_{0}) na direção indicada.
f(x, y)=\tan ^{-1}(y / x),(x_{0}, y_{0})=(-2,1), na direção de (-2,1) para (-6,-2).
f(x, y)=\tan ^{-1}(y / x),(x_{0}, y_{0})=(-2,1), na direção de (-2,1) para (-6,-2).
Passo 1
O problema pede dois itens sobre a função
no ponto
:
(a) o gradiente e
(b) a derivada direcional de nesse ponto na direção que vai de
até
.
Vamos usar derivadas parciais para o gradiente e produto escalar com vetor unitário para a derivada direcional.
(a) o gradiente
(b) a derivada direcional de
Vamos usar derivadas parciais para o gradiente e produto escalar com vetor unitário para a derivada direcional.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Defina
, assim
. Pela regra da cadeia:
Logo
Passo 3
Avaliar o gradiente em
. Como
, temos
Passo 4
O vetor direção entre
e
é
Seu comprimento é
, então o vetor unitário é
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar de
com
:
Resposta
(a)
.
(b) A derivada direcional é .
(b) A derivada direcional é