Nos problemas de 5 a 8 , encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}) e (b) o valor da derivada direcional de f em
(x_{0}, y_{0}) na direção indicada.
f(x, y)=\tan ^{-1}(y / x),(x_{0}, y_{0})=(-2,1), na direção de (-2,1) para (-6,-2).

Passo 1

O problema pede dois itens sobre a função
f(x,y)=tan^-1!l(tfracyxr),
no ponto (x0,y0)=(-2,1):
(a) o gradiente nabla f(x0,y0) e
(b) a derivada direcional de f nesse ponto na direção que vai de (-2,1) até (-6,-2).
Vamos usar derivadas parciais para o gradiente e produto escalar com vetor unitário para a derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Defina u=y/x, assim f=tan^-1(u). Pela regra da cadeia:
partial fpartial x = 11+u^2,partialpartial xl(yxr) = 11+(y/x)^2,l(-yx^2r) = -yx^2+y^2
partial fpartial y = 11+u^2,partialpartial yl(yxr) = 11+(y/x)^2,1x = xx^2+y^2
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nabla f(x,y)=l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)

Passo 3

Avaliar o gradiente em (x,y)=(-2,1). Como x^2+y^2=5, temos
nabla f(-2,1) =l(-15,,-25r)

Passo 4

O vetor direção entre (-2,1) e (-6,-2) é
De<a =(-6-(-2),,-2-1)=(-4,-3)
Seu comprimento é |De<a|=raiz(-4)^2+(-3)^2=5, então o vetor unitário é
u =De<a|De<a| =l(-45,,-35r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(-2,1) com u:
Duf(-2,1) =nabla f(-2,1)cdot u =l(-tfrac15,,-tfrac25r)cdotl(-tfrac45,,-tfrac35r) =425+625 =1025 =25

Resposta

(a) nabla f(-2,1)=l(-tfrac15,,-tfrac25r).
(b) A derivada direcional é Duf(-2,1)=tfrac25.

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