Nos problemas de 5 a 8 , encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}) e (b) o valor da derivada direcional de f em
(x_{0}, y_{0}) na direção indicada.
f(x, y)=x^{2} y+2 x y^{2},(x_{0}, y_{0})=(1,2), na direção do vetor unitário \bar{u}=\frac{1}{2} i+\frac{\sqrt{3}}{2} j.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=x^2y+2xy^2
no ponto (x0,y0)=(1,2):
  1. O gradiente nabla f(1,2), que é o vetor das derivadas parciais l(fx,fyr).
  2. A derivada direcional de f em (1,2) na direção do vetor unitário
bar u = 12, i + raiz32, j,
que é o produto escalar nabla f(1,2)cdotbar u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =2xy + 2y^2,
partial fpartial y =x^2 + 4xy

Passo 3

Avaliando em (1,2):
partial fpartial x(1,2) =2cdot1cdot2 + 2cdot2^2 =4 + 8 =12,
partial fpartial y(1,2) =1^2 + 4cdot1cdot2 =1 + 8 =9
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nabla f(1,2) = l(12,,9r)

Passo 4

A derivada direcional de f em (1,2) na direção bar u é
Dbar uf(1,2) =nabla f(1,2)cdotbar u =12cdot12 + 9cdotraiz32 =6 + 9raiz32

Resposta

(a) nabla f(1,2) = (12,,9).
(b) Dbar uf(1,2) = 6 + 9raiz32

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