Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(18 S) é o sólido limitado pelo plano z=x e pelo parabolóide de revolução z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado dá o sólido S limitado por
z = x
e pelo parabolóide de revolução
z = x^2 + y^2
Vamos calcular o volume
V = integral triplaS dV
usando coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) onde
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dz,dr,dtheta

Passo 2

A projeção D de S no plano xy vem da condição
x^2 + y^2 <= x,
isto é,
r^2 <= rcostheta,
ou seja
0 <= r <= costheta, costheta >= 0 ;Longrightarrow; -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Para cada (r,theta)in D, a coordenada z varia de
z1 = r^2
até
z2 = rcostheta
Logo
V = integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^costheta integralz=r^2^,rcostheta r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=r^2^rcostheta r,dz = rl(rcostheta - r^2r) = r^2costheta - r^3

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^costhetal(r^2costheta - r^3r),dr = costheta!integral0^costhetar^2,dr - integral0^costhetar^3,dr = costhetacos^3theta3 - cos^4theta4 = cos^4theta12

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
V = integral-pi2^pi2 cos^4theta12,dtheta = 16integral0^pi2cos^4theta,dtheta = 16cdot3pi16 = pi32

Resposta

V = pi32

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