Nos problemas 23 a 26, use uma integração apropriada em coordenadas esféricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(23 S: 0 \leq \varphi \leq \pi / 4, \pi / 6 \leq \theta \leq \pi / 3,2 \leq \rho \leq 4).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S descrito em coordenadas esféricas por
0 <= phi <= pi4, pi6 <= theta <= pi3, 2 <= rho <= 4
O conteúdo é cálculo de volume via integração tripla em coordenadas esféricas, lembrando que
dV = rho^2 sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Escrevemos a integral de volume:
V = integraltheta=pi/6^pi/3 integralphi=0^pi/4 integralrho=2^4 rho^2 sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em rho:
integral2^4 rho^2 ,drho = 13l[4^3 - 2^3r] = 563
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V = 563 integralpi/6^pi/3 integral0^pi/4 sinphi ,dphi,dtheta

Passo 4

Agora a integral em phi:
integral0^pi/4 sinphi ,dphi = 1 - cos!l(tfracpi4r) = 1 - raiz22
Substituindo, fica
V = 563l(1 - tfracraiz22r) integralpi/6^pi/3dtheta

Passo 5

Por fim a integral em theta:
integralpi/6^pi/3dtheta = pi3 - pi6 = pi6
Assim
V = 563cdot pi6l(1 - tfracraiz22r) = 28pi9l(1 - tfracraiz22r)

Resposta

V = 28pi9l(1 - raiz22r),
que também pode ser escrita como
V = 14pi9,(2 - raiz2)

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