Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(22 S) é o sólido limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+(z-1 / 2)^2=1 / 4 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O sólido S é formado pelos pontos que estão dentro da esfera
x^2+y^2+(z-tfrac12)^2=tfrac14
e acima do cone z=raizx^2+y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que x=rcostheta, y=rsintheta, o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta, e determinar os limites de integração a partir da interseção entre esfera e cone.

Passo 2

Na superfície da esfera temos
r^2+(z-tfrac12)^2=tfrac14
Na interseção com o cone z=r isso vira
r^2+(r-tfrac12)^2=tfrac14 Longrightarrow 2r^2-r=0 Longrightarrow r=0 ou r=tfrac12
Como r=0 é o eixo, o domínio relevante em r é de 0 a tfrac12. Para cada r fixo, z varia do cone até a “tampa” da esfera (ramo superior), isto é,
r<= z<= tfrac12+raiztfrac14-r^2,
e theta vai de 0 a 2pi.

Passo 3

Escrevendo o volume em cilíndricas:
V=integral0^2pi!integral0^1/2!integralz=r^,z=tfrac12+raiztfrac14-r^2r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
V =2piintegral0^1/2rl[l(tfrac12+raiztfrac14-r^2r)-rr],dr =2piintegral0^1/2l(rtfrac12 -r^2+rraiztfrac14-r^2r),dr

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I1=integral0^1/2l(tfrac r2 -r^2r)dr, I2=integral0^1/2rraiztfrac14-r^2,dr
Calculamos
I1 =l[tfracr^24-tfracr^33r]0^1/2 =tfrac116-tfrac124=tfrac148,
e, usando u=tfrac14-r^2,
I2 =-tfrac12integral1/4^0u^1/2du =tfrac13l(tfrac14r)^3/2 =tfrac124
Logo
V =2pi,(I1+I2) =2pil(tfrac148+tfrac124r) =2picdottfrac116 =tfracpi8

Resposta

tfracpi8

Exercícios de Livros Relacionados