Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
de cada sólido
.
(22 S) é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
(22 S) é o sólido limitado superiormente pela esfera
Passo 1
O sólido
é formado pelos pontos que estão dentro da esfera
e acima do cone
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
, em que
,
, o elemento de volume é
, e determinar os limites de integração a partir da interseção entre esfera e cone.
Passo 2
Na superfície da esfera temos
Na interseção com o cone
isso vira
Como
é o eixo, o domínio relevante em
é de
a
. Para cada
fixo,
varia do cone até a “tampa” da esfera (ramo superior), isto é,
e
vai de
a
.
Passo 3
Escrevendo o volume em cilíndricas:
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Calculamos
e, usando
,
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