Nos problemas 23 a 26, use uma integração apropriada em coordenadas esféricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(24 S) é limitado lateralmente pela esfera x^2+y^2+z^2=a^2 e está contido entre a regiāo abaixo da superfície lateral e a parte superior (lado do vértice) do cone circular reto z^2=b^2(x^2+y^2), onde a e b são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que, em coordenadas cartesianas, fica dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=a^2
e acima (lado do vértice) do cone
z^2=b^2,(x^2+y^2),
com a>0 e b>0. O que vamos usar é a transformação para coordenadas esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com 0<=rho<= a, 0<=theta<=2pi e phi variando entre a direção do eixo z e a superfície do cone. O elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Precisamos encontrar o valor de phi que corresponde ao cone z^2=b^2(x^2+y^2). Em esféricas:
rho^2cos^2phi = b^2,rho^2sin^2phi Longrightarrow cot^2phi = b^2 Longrightarrow tanphi = tfrac1b
Logo a aresta do cone ocorre em
phi0 = arctan!l(tfrac1br)
Como estamos na “parte superior” do cone, phi varia de 0 (eixo z positivo) até phi0.

Passo 3

Assim os limites de integração são
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=phi0, 0<=rho<= a
Então o volume é
V =integral0^2pi!!integral0^phi0!!integral0^a rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Fazendo as integrais em ordem:
integral0^arho^2,drho =a^33, integral0^phi0sinphi,dphi =1-cosphi0, integral0^2pidtheta =2pi
Como cosphi0=dfracbraiz1+b^2, segue
1-cosphi0 =1-braiz1+b^2

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos
V =2pi;a^33 ;l(1-braiz1+b^2r)

Resposta

V =2pi,a^33,l(1-braiz1+b^2r)

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