Nos problemas 23 a 26, use uma integração apropriada em coordenadas esféricas para calcular o volume
de cada sólido
.
(24 S) é limitado lateralmente pela esfera
e está contido entre a regiāo abaixo da superfície lateral e a parte superior (lado do vértice) do cone circular reto
, onde
e
são constantes positivas.
(24 S) é limitado lateralmente pela esfera
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que, em coordenadas cartesianas, fica dentro da esfera
e acima (lado do vértice) do cone
com
e
. O que vamos usar é a transformação para coordenadas esféricas:
com
,
e
variando entre a direção do eixo
e a superfície do cone. O elemento de volume é
Passo 2
Precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao cone
. Em esféricas:
Logo a aresta do cone ocorre em
Como estamos na “parte superior” do cone,
varia de
(eixo
positivo) até
.
Passo 3
Assim os limites de integração são
Então o volume é
Passo 4
Fazendo as integrais em ordem:
Como
, segue
Passo 5
Multiplicando tudo, obtemos