28.7 As seguintes equações definem a concentração de três reagentes:
d cad t & =-10 ca cc+cb d cbd t & =10 ca cc-cb d ccd t & =-10 ca cc+cb-2 cc
Se as condições iniciais forem ca=50, cb=0 e cc=40, encontre as concentrações para instantes entre 0 e 3 s .

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema não-linear de equações de taxa de reação para as concentrações ca(t),,cb(t) e cc(t) com condições iniciais
ca(0)=50, cb(0)=0, cc(0)=40
e pede as soluções no intervalo 0<= t<=3. O conteúdo envolve problemas de valor inicial para sistemas de ODEs não-lineares e usaremos um método numérico (por exemplo, Runge–Kutta de 4ª ordem ou um solver adaptativo como o MATLAB ode 45) para obter l(ca(t),cb(t),cc(t)r).

Passo 2

Observe que, somando as duas primeiras equações, vem
d cadt + d cbdt =(-10,ca cc + cb)+(10,ca cc - cb)=0,
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ca(t)+cb(t)=underbraceca(0)+cb(0)=50;=;50
Isso reduz o sistema a duas variáveis: basta acompanhar ca e cc e obter cb(t)=50-ca(t).

Passo 3

Escrevemos então o sistema em l(ca,ccr):
d cadt =-10,ca,cc + (50 - ca), d ccdt =-10,ca,cc + (50 - ca) - 2,cc,
com
,(ca(0),cc(0))=(50,40).

Passo 4

Para resolver numericamente, usamos, por exemplo, o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo de tempo adequado (ou um solver adaptativo). Em MATLAB a chamada ficaria:
tt[t,y] = ode45(@f, [0 3], [50;40]);
onde em ttf definimos o vetor
f1(ca,cc)=-10,ca,cc + (50-ca), f2(ca,cc)=-10,ca,cc + (50-ca) - 2,cc
Depois recuperamos
,ca(t)=y(:,1),
,cb(t)=50-y(:,1) e
,cc(t)=y(:,2).

Passo 5

Executando esse procedimento, obtemos (valores aproximados)

Resposta

Os resultados numéricos aproximados para t=0,;0,5,;1,0,;2,0,;3,0 s são tabelados acima (em mol/L).

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