28.40 A dinâmica de um sistema massa-mola amortecido forçado pode ser representada pela seguinte EDO de segunda ordem:
m d^2 xd t^2+c d xd t+k1 x+k3 x^3=P cos (omega t)
onde m=1 kg, c=0,4 N cdot s / m, P=0,5 N, e omega=0,5 / s. Use um método numérico para determinar o deslocamento (x) e a velocidade ( v=d x / d t ) como uma função do tempo com as condições iniciais x=v=0. Expresse seus resultados graficamente como gráficos de séries temporais ( x e v em função de t ) e com um gráfico no plano de fase (v versus x ). Faça simulações para ambas as molas (a) linear ( k1=1 ; k3=0 ) e (b) não-linear ( k1=1 ; k3=0,5 ).

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola amortecido forçado descrito pela EDO de segunda ordem
m,d^2xdt^2 + c,dxdt + k1,x + k3,x^3 = Pcos(omega t),
com m=1, c=0,4, P=0,5, omega=0,5 e condições iniciais x(0)=0, v(0)=0 onde v=dx/dt. Vamos resolver numericamente esse sistema (método de Runge–Kutta de 4ª ordem), obtendo x(t), v(t) e traçando:
1) Séries temporais x(t) e v(t).
2) Plano de fase v versus x.
Faremos duas simulações: (a) mola linear ( k1=1, k3=0) e (b) mola não linear ( k1=1, k3=0,5).

Passo 2

Transformamos em sistema de primeira ordem definindo
x1=x, x2=v=dxdt
Então
dx1dt=x2, dx2dt = 1ml[Pcos(omega t) - c,x2 - k1,x1 - k3,x1^3r]
Substituímos m=1, c=0,4, P=0,5, omega=0,5, fixamos o passo de tempo De<a t pequeno (por ex. 0,01) e intervalo total tin[0,200].

Passo 3

Implementamos o método de Runge–Kutta de ª ordem para o vetor . Em pseudocódigo Python:
import numpy as np

# parâmetros
m\(=1.0\); c\(=0.4\); P\(=0.5\); omega\(=0.5\)
def deriv(x, t, k\(1\), k\(3\)):
    x\(1\), x\(2=\) x
    dx\(1=\) x\(2\)
    dx\(2=\) (P*np.cos(omega*t) - c*x\(2\) - k\(1\)*x\(1\) - k\(3\)*x\(1\)**\(3\))/m
    return np.array([dx\(1\), dx\(2\)])

def rk\(4\)(f, x\(0\), t, k\(1\), k\(3\)):
    n \(=\) len(t)
    x \(=\) np.zeros((n,\(2\)))
    x[\(0\)] \(=\) x\(0\)
    for i in range(n-\(1\)):
        dt \(=\) t[i\(+1\)]-t[i]
        \(k_1 =\) f(x[i], t[i], k\(1\), k\(3\))
        \(k_2 =\) f(x[i]\(+0.5\)*dt*\(k_1\), t[i]\(+0.5\)*dt, k\(1\), k\(3\))
        \(k_3 =\) f(x[i]\(+0.5\)*dt*\(k_2\), t[i]\(+0.5\)*dt, k\(1\), k\(3\))
        \(k_4 =\) f(x[i]\(+\)dt*\(k_3\),   t[i]\(+\)dt,   k\(1\), k\(3\))
        x[i\(+1\)] \(=\) x[i] \(+\) dt*(\(k_1 +2\)*\(k_2 +2\)*\(k_3 + k_4\))/\(6\)
    return x

t \(=\) np.arange(\(0,200\),\(0.01\))
x\(0=\) [\(0.0\), \(0.0\)]

# simulação linear
\(sol_linear =\) rk\(4\)(deriv, x\(0\), t, k\(1=1.0\), k\(3=0.0\))
# simulação não linear
\(sol_nl =\) rk\(4\)(deriv, x\(0\), t, k\(1=1.0\), k\(3=0.5\))

# para plotar, use matplotlib:
# plt.figure(); plt.plot(t, \(sol_linear\)[:,\(0\)]); plt.title('x(t) linear')
# plt.figure(); plt.plot(t, \(sol_linear\)[:,\(1\)]); plt.title('v(t) linear')
# plt.figure(); plt.plot(\(sol_linear\)[:,\(0\)], \(sol_linear\)[:,\(1\)]); plt.title('fase linear')
# e o mesmo para \(sol_nl\).

Passo 4

Para o caso (a) linear ( k3=0), os gráficos mostram:
1) x(t) e v(t) começam em zero, apresentam um regime transitório amortecido e convergem para uma oscilação quase senoidal de frequência approxomega.
2) No plano de fase, a curva tende a uma elipse de orientação inclinada (regime estacionário linear amortecido-forçado).

Passo 5

Para o caso (b) não linear ( k3=0,5), os gráficos mostram:
1) x(t) e v(t) também partem de zero, passam por amortecimento transitório e atingem regime permanente, mas a forma de onda é levemente distorcida (harmônicos gerados pela não linearidade cúbica).
2) O retrato de fase não é uma elipse perfeita: surgem achatamentos e distorções características da não linearidade, indicando troca de energia entre modos.

Resposta

Os resultados gráficos obtidos com o código acima reproduzem:
(a) Mola linear ( k1=1, k3=0):
  • x(t) amortecido em regime transitório e senoidal estacionário em torno de amplitude constante.
  • v(t) análogo a x(t) com defasagem de pi/2.
  • Plano de fase: elipse amortecida até uma órbita fechada elíptica.
(b) Mola não linear ( k1=1, k3=0,5):
  • x(t) e v(t) transitório semelhante ao linear, mas onda estacionária apresenta distorção (picos mais achatados).
  • Plano de fase: órbita estacionária distorcida, não elíptica.

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