Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
2^n n!(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = 2^n,n!(2n+1)!
converge ou diverge e, em caso de convergência, achar limntoinftyan.
O conteúdo aqui é análise de sequência usando o teste da razão, que compara an+1an.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n+1(n+1)!(2(n+1)+1)!2^n,n!(2n+1)! = 2^n+1(n+1)!,(2n+1)!2^n,n!,(2n+3)!
Agora simplificamos: 2^n+1/2^n = 2, (n+1)!/n! = n+1 e (2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!. Logo,
an+1an = 2,(n+1)(2n+3)(2n+2) = 2,(n+1)2(n+1)(2n+3) = 12n+3

Passo 3

Observamos que, para todo n>=0,
0<an+1an=12n+3<1,
e ainda limntoinftyan+1an=0. Pelo teste da razão, isso garante que anto0. Além disso, todos os termos são positivos, então não há oscilações de sinal.

Resposta

A sequência converge e seu limite é
limntoinfty2^n,n!(2n+1)!=0

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