27 Suponha que w=cos (5 x-8 y+7 z) e seja barA=partial wpartial x bari+partial wpartial y barj+partial wpartial z bark. Mostre que barA é perpendicular ao vetor barB=10 bari+barj-6 bark.

Passo 1

O enunciado dá a função
w = cos(5x - 8y + 7z)
e define o vetor
barA = partial wpartial x,bari + partial wpartial y,barj + partial wpartial z,bark.
Queremos mostrar que barA é perpendicular a
barB = 10,bari + barj - 6,bark,
isto é, que o produto escalar barAcdotbarB é zero. Para isso vamos usar derivadas parciais (regra da cadeia) e depois calcular o produto escalar.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em cada variável, com theta = 5x - 8y + 7z, temos
partial wpartial x = -sin(theta),partial thetapartial x = -sin(theta)cdot 5 = -5,sin(theta),
partial wpartial y = -sin(theta),partial thetapartial y = -sin(theta)cdot(-8) = 8,sin(theta),
partial wpartial z = -sin(theta),partial thetapartial z = -sin(theta)cdot 7 = -7,sin(theta)

Passo 3

Com isso o vetor gradiente fica
barA = -5,sin(theta),bari + 8,sin(theta),barj - 7,sin(theta),bark

Passo 4

O produto escalar barAcdotbarB é
barAcdotbarB = l(-5sin(theta)r)cdot 10 + l(8sin(theta)r)cdot 1 + l(-7sin(theta)r)cdot(-6)
Fatorando sin(theta),
barAcdotbarB = sin(theta)l(-50 + 8 + 42r) = sin(theta)cdot 0 = 0
Como o produto escalar é zero, barA é perpendicular a barB.

Resposta

barAcdotbarB=0, logo barA é perpendicular a barB.

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