Encontre as primeiras derivadas parciais de cada finção.
g(x, y, z)=(ln y)^x+cos z

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z) = (ln y)^x + cos z
e pede as derivadas parciais em relação a x, y e z. Para isso vamos usar:
  • A derivada de a^x em relação a x, que é a^xln a quando a é constante.
  • A regra da cadeia aplicada a ln y.
  • A derivada de cos z, que é -sin z.

Passo 2

Para partial gpartial x tratamos y e z como constantes. Note que (ln y)^x é da forma a^x com a=ln y. Logo,
partialpartial x(ln y)^x = (ln y)^x,ln(ln y)
Como partialpartial xcos z=0, fica
partial gpartial x = (ln y)^x,ln(ln y)

Passo 3

Para partial gpartial y tratamos x e z como constantes. Definimos u(y)=ln y, então (ln y)^x=u^x. Pela regra da cadeia e a derivada de u,
partialpartial yu^x = x,u^,x-1,dudy = x,(ln y)^x-1,1y
E partialpartial ycos z=0, portanto
partial gpartial y = x,(ln y)^,x-1y

Passo 4

Para partial gpartial z tratamos x e y como constantes. A única dependência de z é em cos z, cuja derivada é
partialpartial zcos z = -sin z,
logo
partial gpartial z = -sin z

Resposta

partial gpartial x = (ln y)^x,ln(ln y), partial gpartial y = x,(ln y)^,x-1y, partial gpartial z = -sin z

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