Suponha que uma lâmina com função de densidade de massa (\sigma) ocupa a regiāo ® no plano (x y). Ache a massa total (m) e as coordenadas ((\bar{x}, \bar{y})) do centro de massa da distribuição. Suponha que a massa é medida em gramas e as distâncias em centímetros.
R: 2 \leq x \leq 3,2 \leq y \leq 5 ; \sigma(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina que ocupa o retângulo
R=(x,y)mid 2<= x<=3,;2<= y<=5
com densidade de massa sigma(x,y)=x,y. Queremos a massa total
m=integral duplaRsigma(x,y),dA
e as coordenadas do centro de massa
bar x=1mintegral duplaRx,sigma(x,y),dA, bar y=1mintegral duplaRy,sigma(x,y),dA

Passo 2

Vamos calcular
m=integralx=2^3integraly=2^5x,y,dy,dx
Integramos em y primeiro:
integral2^5y,dy=[y^22]2^5=25-42=212
Logo
m=integral2^3xcdot212,dx =212integral2^3x,dx =212[x^22]2^3 =212cdot9-42 =212cdot52 =1054,

Passo 3

Para bar x calculamos o momento em x:
Nx=integral duplaRx,(x,y),dA =integral2^3integral2^5x^2,y,dy,dx
De novo em y:
integral2^5y,dy=212,
ficando
Nx=212integral2^3x^2,dx =212[x^33]2^3 =212cdot27-83 =212cdot193 =3996
Então
bar x=Nxm =tfrac3996tfrac1054 =3996cdot4105 =3815approx2,5333

Passo 4

Para bar y calculamos o momento em y:
Ny=integral duplaRy,(x,y),dA =integral2^3integral2^5x,y^2,dy,dx
Integramos em y:
integral2^5y^2,dy =[y^33]2^5 =125-83 =39,
logo
Ny=39integral2^3x,dx =39[x^22]2^3 =39cdot9-42 =1952
Portanto
bar y=Nym =tfrac1952tfrac1054 =1952cdot4105 =267approx3,7143

Resposta

m=tfrac1054 g,
barx=tfrac3815 cm,
bary=tfrac267 cm

Exercícios de Livros Relacionados