44 Suponha que an e bn são duas sequências cujos termos correspondentes concordam a partir de um certo pónto, ou seja, suponha que existe um inteiro positivo k tal que an=bn se verifica para todo n >= k. Se lim n +infty an=L, prove que lim n +infty bn=L, também.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas sequências an e bn que coincidem a partir de um certo índice k, isto é, an=bn para todo n>= k. Sabemos que limntoinftyan=L e queremos provar que limntoinftybn=L. O conteúdo principal é a definição de limite de sequência.

Passo 2

Pela definição de limite de sequência, dizer que limntoinftyan=L significa: para todo varepsilon>0 existe um índice NinN tal que, sempre que n>= N, vale
lvert an - Lrvert < varepsilon
Vamos aproveitar essa condição e a igualdade eventual an=bn para concluir o mesmo para bn.

Passo 3

Dado varepsilon>0, escolhemos N conforme a convergência de an. Como an=bn sempre que n>= k, basta definir
M = maxN,,k
Então, para todo n>= M temos simultaneamente n>= N e n>= k. Daí
lvert bn - Lrvert = lvert an - Lrvert < varepsilon
Isso mostra que, dado varepsilon>0, existe M tal que lvert bn - Lrvert<varepsilon para todo n>= M, ou seja, limntoinftybn=L.

Resposta

Concluímos que limntoinftybn = L.

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