44 Suponha que
e
são duas sequências cujos termos correspondentes concordam a partir de um certo pónto, ou seja, suponha que existe um inteiro positivo
tal que
se verifica para todo
. Se
, prove que
, também.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas sequências
e
que coincidem a partir de um certo índice
, isto é,
para todo
. Sabemos que
e queremos provar que
. O conteúdo principal é a definição de limite de sequência.
Passo 2
Pela definição de limite de sequência, dizer que
significa: para todo
existe um índice
tal que, sempre que
, vale
Vamos aproveitar essa condição e a igualdade eventual
para concluir o mesmo para
.
Passo 3
Dado
, escolhemos
conforme a convergência de
. Como
sempre que
, basta definir
Então, para todo
temos simultaneamente
e
. Daí
Isso mostra que, dado
, existe
tal que
para todo
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que
.