Use a aproximação linear para estimar f(x0+De<a x, y0+De<a y) para cada função f e para os valores indicados de x0, y0, De<a x e De<a y.
4 f(x, y)=x raizx-y ; x0=6, y0=2, De<a x=0,25, De<a y=0,25.

Passo 1

O enunciado pede para usar a aproximação linear (diferencial total) para estimar
f(x0+De<a x,;y0+De<a y)
para a função
f(x,y)=xraizx-y
em (x0,y0)=(6,2) com De<a x=0,25 e De<a y=0,25. Vamos usar a fórmula
f(x0+De<a x,y0+De<a y)approx f(x0,y0)+df,
onde
df=fx(x0,y0),De<a x+fy(x0,y0),De<a y

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=x,(x-y)^1/2,
usamos a regra do produto e a cadeia:
fx=raizx-y+xcdot12raizx-y,
fy=xcdot12raizx-ycdot(-1)=-x2raizx-y

Passo 3

Agora avaliamos f, fx e fy em (6,2):
f(6,2)=6raiz6-2=6cdot 2=12,
fx(6,2)=raiz4+62raiz4=2+64=2+1,5=3,5,
fy(6,2)=-62raiz4=-64=-1,5

Passo 4

Calculamos o diferencial total:
df=fx(6,2),De<a x+fy(6,2),De<a y =3,5cdot 0,25 +(-1,5)cdot 0,25 =0,875 - 0,375 =0,5
Logo a aproximação é
f(6,25,,2,25)approx f(6,2)+df=12+0,5=12,5

Resposta

f(6,25,2,25)approx 12,5

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