Use integração dupla para calcular o volume sob o gráfico de cada função (f) e acima da região indicada ®.
f(x, y)=A x+B y+C ; R: a \leq x \leq b e c \leq y \leq d ; A x+B y+C \geq 0 em R

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume sob a superfície
f(x,y)=Ax+By+C
e acima do retângulo
R=(x,y)mid a<= x<= b,;c<= y<= d
supondo que f(x,y)>=0 em R. O conteúdo é integração dupla aplicada ao cálculo de volume.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral iterada sobre R:
V=integral duplaRf(x,y),dA =integralx=a^bintegraly=c^dl(Ax+By+Cr),dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em y:
integraly=c^dl(Ax+By+Cr),dy =A,x,(d-c) +B,d^2-c^22 +C,(d-c)

Passo 4

Agora integramos em x:
V =integralx=a^bl[A,x,(d-c) +B,d^2-c^22 +C,(d-c)r]dx
Que dá
V =A,(d-c),b^2-a^22 +l[B,d^2-c^22+C,(d-c)r](b-a)

Resposta

V =A,(d-c),(b^2-a^2)2 +B,(d^2-c^2),(b-a)2 +C,(b-a),(d-c)

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