Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos de (z=e^{e+y}, y=\ln x, x=2, y=0) e (z=0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pela superfície
z = e^,e+y,
pelos planos ,z=0, ,y=0, ,x=2 e pela superfície lateral
y = ln x
O método é usar integração dupla para volume, sabendo que
V = integral duplaR z ,dA
onde R é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Para achar R, observe que estamos em x>=0, y>=0, e que as fronteiras são y=0, y=ln x e x=2. A curva y=ln x intercepta y=0 em x=1. Logo R é
1 <= x <= 2, 0 <= y <= ln x

Passo 3

Escrevendo o volume como integral iterada em ordem dy,dx, temos
V=integralx=1^2!integraly=0^ln x e^,e+y,dy,dx

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
integral0^ln x e^,e+y,dy = e^eintegral0^ln x e^y,dy = e^el[e^yr]0^ln x = e^el(x-1r)

Passo 5

Substituindo na integral em x:
V = e^eintegral1^2 (x-1),dx = e^el[tfracx^22-xr]1^2 = e^el[(2-2)-(tfrac12-1)r] = tfrac12,e^e

Resposta

V = e^e2

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