Use integração dupla para calcular o volume sob o gráfico de cada função (f) e acima da região indicada ®.
f(x, y)=x^{2}+9 y^{2} ; R : a regiāo interior ao triângulo cujos vértices são: (0,0,0),(0,1,0), e (1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume sob o gráfico da função
,f(x,y)=x^2+9y^2,
e acima da região R triangular de vértices (0,0), (0,1) e (1,1).
O conteúdo é uso de integração dupla para volumes.

Passo 2

No plano xy, o triângulo tem fronteiras: a reta vertical x=0 de y=0 a y=1, a reta horizontal y=1 de x=0 a x=1, e a reta diagonal y=x de x=0 a x=1.
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R = (x,y)mid 0<= x<= y<=1
Escolhemos a ordem dA = dx,dy, com y variando de 0 a 1 e x de 0 a y.

Passo 3

Montamos a integral dupla
integraly=0^1!integralx=0^yl(x^2+9y^2r),dx,dy
Calculamos primeiro a integral interna em x:
integral0^y(x^2+9y^2),dx = integral0^yx^2,dx + 9y^2integral0^y1,dx = y^33 + 9y^2,y = y^33 + 9y^3 = 283,y^3

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1283,y^3,dy = 283integral0^1y^3,dy = 283cdot14 = 2812 = 73

Resposta

O volume sob o gráfico de f(x,y)=x^2+9y^2 sobre a região R é
73

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