Use um pacote ou biblioteca de software (por exemplo, Excel, MATLAB ou IMSL) para resolver o seguinte problema de otimização não-linear com restrições:
Maximize f(x, y)=1,2 x+2 y-y^3
sujeito a
& 2 x+y <= 2 & x >= 0 & y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
f(x,y) = 1,2,x + 2,y - y^3
sujeito a
2x + y <= 2, x>=0, y>=0
O conteúdo é programação não linear com restrições lineares. Para resolver numericamente (por exemplo, com o Solver do Excel ou o comando fmincon do MATLAB) você definiria x,y como variáveis, a célula-objetivo com f(x,y) e as três restrições acima. Aqui, vamos mostrar passo a passo a redução analítica que o solver fará internamente.

Passo 2

Note que, para cada valor fixo de y, f cresce em x (coeficiente 1,2>0). Assim, na fronteira 2x+y=2 temos o maior x permitido:
x^*(y) = 2 - y2, 0<= y<=2
Substituindo em f, definimos
g(y) = fl(x^*(y),yr) =1,2cdot2 - y2 ;+;2y ;-;y^3

Passo 3

Simplificando g(y):
g(y) = 0,6,(2-y) + 2y - y^3 =1,2 + 1,4,y - y^3
Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
g'(y) = 1,4 - 3,y^2 = 0 Longrightarrow y^2 = 1,43 Longrightarrow y = raiz1,43approx0,683

Passo 4

Obtemos
y^* approx 0,683, x^* = 2 - y^*2approx2 - 0,6832approx0,658
O valor ótimo é
f(x^*,y^*) approx 1,2cdot0,658 + 2cdot0,683 - 0,683^3 approx1,837
Verificações em extremos ( y=0,2 ou x=0) dão valores menores.

Resposta

x^*approx0,658, y^*approx0,683, fmaxapprox1,837.

Exercícios de Livros Relacionados