Og é o líder de uma tribo de homens das cavernas, a Águas Calmas, surpreendentemente avançada matematicamente, embora tecnologicamente da “época roda do moinho”. Ele deve decidir o número de clavas e o número de machados de pedra que devem ser produzidos para a futura batalha contra a tribo vizinha, a Pôr-do-Sol Tranqüilo. A experiência ensinou a ele que cada clava causa em média 0,45 morte e 0,65 mutilação, enquanto cada machado causa 0,70 morte e 0,35 mutilação. A produção de clavas requer de pedra e 2,1 homens-hora de trabalho, enquanto um machado requer de pedra e 4,3 homens-hora de trabalho. A tribo de Og tem 240 lb de pedra disponíveis para a produção de armas e um total de 200 homens-hora de trabalho disponíveis antes da data esperada da batalha (que Og tem certeza de que terminará de vez com a guerra). Og avalia que uma morte vale duas mutilações na quantificação do estrago causado ao inimigo e deseja produzir um lote de armas que maximize esse estrago.
(a) Formule esse problema como um problema de programação linear. Certifique-se de definir suas variáveis de decisão.
(b) Represente esse problema graficamente, certificando-se de distinguir os vértices viáveis dos vértices não-viáveis.
(c) Resolva o problema graficamente.
(d) Resolva o problema usando o computador.
Passo 1
O enunciado pede que Og escolha quantas clavas e quantos machados produzir para maximizar o “estrago” medido como mortes mutilação. Cada clava dá em média mortes e mutilações, cada machado dá mortes e mutilações. A produção consome pedra e trabalho, com totais disponíveis de lb de pedra e homens-hora. O conteúdo é formulação e solução de um problema de Programação Linear (PL), usando método gráfico e depois solução por computador.
Passo 2
Definimos as variáveis de decisão: número de clavas número de machados
O valor de “estrago” por clava é
e por machado é
Logo a PL é:
sujeito a
Passo 3
Para desenhar o região viável no plano , achamos os interceptos:
– Na restrição pedra: e .
– Na restrição trabalho: e .
O polígono viável é limitado por , , a reta pedra e a reta trabalho. Seus vértices candidatos são , , e a interseção das duas retas.
Passo 4
Resolvendo
o determinante é D=5,1cdot4,3-3,2cdot2,1=15,21. Calcula-se
O maior valor é zapprox99,32 no ponto (x1,x2)approx(25,78,,33,92).
Passo 6
Usando um solver de PL (por exemplo Excel Solver, GLPK ou outro), obtém-se exatamente a mesma solução ótima contínua:
x1approx25,78, x2approx33,92, zmaxapprox99,32
Resposta
(a) Variáveis x1,x2 e PL
max z=1,55x1+1,75x2
sujeito a
5,1x1+3,2x2<=240,; 2,1x1+4,3x2<=200,; x1,x2>=0
(b) Região viável é o polígono cujos vértices são (0,0), (47,06,0), (0,46,51) e (25,78,33,92).
(c) Ponto ótimo pelo método gráfico: (x1,x2)approx(25,78,,33,92), com zmaxapprox99,32.
(d) Solver de computador confirma x1approx25,78, x2approx33,92, zmaxapprox99,32.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.13