Use a regra da cadeia para encontrar a derivada indicada.
w=2 x^4-3 x^2 y^2+y^4, x=3 u+v, y=u-2 v ; partial wpartial u e partial wpartial v

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais partial wpartial u e partial wpartial v da função composta
w(x,y)=2x^4-3x^2y^2+y^4,
onde
x=3u+v, y=u-2v
O conteúdo usado será a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x e a y. Usando derivação de polinômios,
partial wpartial x = partialpartial xl(2x^4r) - partialpartial xl(3x^2y^2r) + partialpartial xl(y^4r) = 8x^3 - 6x,y^2,
partial wpartial y = partialpartial yl(2x^4r) - partialpartial yl(3x^2y^2r) + partialpartial yl(y^4r) = -6x^2y + 4y^3

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial wpartial u:
partial wpartial u = partial wpartial x,partial xpartial u + partial wpartial y,partial ypartial u
Como x=3u+v e y=u-2v, temos partial xpartial u=3 e partial ypartial u=1. Substituindo:
partial wpartial u = (8x^3-6x,y^2)cdot 3 + (-6x^2y+4y^3)cdot 1 = 24x^3 -18x,y^2 -6x^2y +4y^3
Por fim, voltamos às variáveis u,v usando x=3u+v e y=u-2v:
partial wpartial u = 24(3u+v)^3 -18(3u+v)(u-2v)^2 -6(3u+v)^2(u-2v) +4(u-2v)^3

Passo 4

De forma análoga, para partial wpartial v temos
partial wpartial v = partial wpartial x,partial xpartial v + partial wpartial y,partial ypartial v
Aqui partial xpartial v=1 e partial ypartial v=-2. Logo,
partial wpartial v = (8x^3-6x,y^2)cdot 1 + (-6x^2y+4y^3)cdot(-2) = 8x^3 -6x,y^2 +12x^2y -8y^3
Substituindo x=3u+v e y=u-2v,
partial wpartial v = 8(3u+v)^3 -6(3u+v)(u-2v)^2 +12(3u+v)^2(u-2v) -8(u-2v)^3

Resposta

partial wpartial u = 24(3u+v)^3 -18(3u+v)(u-2v)^2 -6(3u+v)^2(u-2v) +4(u-2v)^3,
partial wpartial v = 8(3u+v)^3 -6(3u+v)(u-2v)^2 +12(3u+v)^2(u-2v) -8(u-2v)^3

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