Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1,5 2 3 4 5 8 10 13
(a) Junto com a inclinação e a intersecção com o eixo , calcule o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação. Faça o gráfico dos dados e da reta. Avalie o ajuste.
(b) Recalcule (a), mas use uma regressão polinomial para ajustar uma parábola aos dados. Compare os resultados com aqueles em (a).

Passo 1

O enunciado fornece nove pontos (xi,yi) e pede:
– (a) ajustar pelos mínimos quadrados uma reta y = b0 + b1 x, calcular a inclinação b1, a interceptação b0, o erro padrão da estimativa s e o coeficiente de correlação r, além de discutir o gráfico.
– (b) repetir o ajuste com uma parábola y = a + b x + c x^2, obter o erro padrão e comparar com o caso linear.

Passo 2

Calcular as somas e estatísticas auxiliares:
n = 9, sum xi = 45, sum yi = 47,5,
sum xi^2 = 285, sum xi yi = 325, sum yi^2 = 390,25
Daí
bar x = sum xin = 5, bar y = sum yin approx 5,2778,
Sxx = sum xi^2 - nbar x^2 = 285 - 9cdot5^2 = 60,
Sxy = sum xi yi - nbar x,bar y = 325 - 9cdot5cdot5,2778 = 87,5,
Syy = sum yi^2 - nbar y^2 = 390,25 - 9cdot5,2778^2 approx 139,5

Passo 3

Coeficientes da regressão linear:
b1 = SxySxx = 87,560 approx 1,4583,
b0 = bar y - b1,bar x approx 5,2778 - 1,4583cdot5 = -2,0139

Passo 4

Erro padrão da estimativa e coeficiente de correlação:
SSE = sum (yi - (b0 + b1 xi))^2 approx 11,9504,
s = raizSSEn-2 = raiz11,95047 approx 1,3066,
r = SxyraizSxx,Syy = 87,5raiz60cdot139,5 approx 0,9561

Passo 5

No gráfico dos pontos e da reta ajustada nota-se boa tendência crescente (alto r), mas os resíduos mostram curvatura positiva sugerindo ajuste polinomial de segundo grau.

Passo 6

Para a parábola y = a + b x + c x^2 montam-se as equações normais:
9a + 45b + 285c = 47,5, 45a + 285b + 2025c = 325, 285a + 2025b + 15333c = 2438
Resolvendo, obtém-se
a approx 1,4923, b approx -0,4537, c approx 0,1912

Passo 7

Erro padrão e coeficiente de determinação da parábola:
SSEq approx 0,725, sq = raizSSEqn-3 = raiz0,7256 approx 0,3476,
R^2 = 1 - SSEqSyy approx 1 - 0,725139,5 approx 0,9948

Passo 8

Comparando ambos:
– A reta tem sapprox1,307, rapprox0,956.
– A parábola reduz s para approx0,348 e eleva R^2 para approx0,995.
Logo o ajuste quadrático descreve muito melhor a curvatura dos dados.

Resposta

(a) Ajuste linear y = -2,0139 + 1,4583,x; erro padrão sapprox1,3066; coeficiente de correlação rapprox0,9561.
(b) Ajuste quadrático y = 1,4923 - 0,4537,x + 0,1912,x^2; erro padrão sqapprox0,3476; R^2approx0,9948.

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