Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a
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1,5
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8
10
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(a) Junto com a inclinação e a intersecção com o eixo , calcule o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação. Faça o gráfico dos dados e da reta. Avalie o ajuste.
(b) Recalcule (a), mas use uma regressão polinomial para ajustar uma parábola aos dados. Compare os resultados com aqueles em (a).
Passo 1
O enunciado fornece nove pontos e pede:
– (a) ajustar pelos mínimos quadrados uma reta , calcular a inclinação , a interceptação , o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação , além de discutir o gráfico.
– (b) repetir o ajuste com uma parábola , obter o erro padrão e comparar com o caso linear.
Passo 2
Calcular as somas e estatísticas auxiliares:
Daí
Passo 3
Coeficientes da regressão linear:
Passo 4
Erro padrão da estimativa e coeficiente de correlação:
Passo 5
No gráfico dos pontos e da reta ajustada nota-se boa tendência crescente (alto ), mas os resíduos mostram curvatura positiva sugerindo ajuste polinomial de segundo grau.
Passo 6
Para a parábola montam-se as equações normais:
Resolvendo, obtém-se
a approx 1,4923, b approx -0,4537, c approx 0,1912
Passo 7
Erro padrão e coeficiente de determinação da parábola:
Comparando ambos:
– A reta tem sapprox1,307, rapprox0,956.
– A parábola reduz s para approx0,348 e eleva R^2 para approx0,995.
Logo o ajuste quadrático descreve muito melhor a curvatura dos dados.
Resposta
(a) Ajuste linear y = -2,0139 + 1,4583,x; erro padrão sapprox1,3066; coeficiente de correlação rapprox0,9561.
(b) Ajuste quadrático y = 1,4923 - 0,4537,x + 0,1912,x^2; erro padrão sqapprox0,3476; R^2approx0,9948.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 17.Problemas - Ex. 17.7