Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as Equações (17.15) e (17.16), deduza um ajuste por mínimos quadrados para o seguinte modelo:
Isto é, determine a inclinação que resulta no ajuste por mínimos quadrados para uma reta com intersecção nula com o eixo . Ajuste os seguintes dados com esse modelo e mostre o resultado graficamente:
2 4 6 7 10 11 14 17 20
1 2 5 2 8 7 6 9 12

Passo 1

O enunciado pede um ajuste por mínimos quadrados para o modelo
y = a1x + e
isto é, uma reta que passa pela origem (interceptação nula). O conteúdo da matéria é regressão linear simples sem termo constante. Para resolver, precisamos:
1. Escrever a soma dos quadrados dos resíduos
2. Minimizar essa soma em relação a a1 3. Resolver a equação normal resultante
4. Aplicar ao conjunto de dados dado

Passo 2

Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
S(a1) ;=; sumi=1^n l(yi - a1xir)^2
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a a1 e igualamos a zero:
dSda1 = dda1sumi=1^nl(yi-a1xir)^2 = -2sumi=1^nxil(yi-a1xir) ;=;0

Passo 3

Da condição de ótimo obtemos a equação normal
sumi=1^n xiyi ;=; a1sumi=1^n xi^2 Longrightarrow a1 = sumi=1^n xiyisumi=1^n xi^2

Passo 4

Agora aplicamos aos dados
c|ccccccccc xi&2&4&6&7&10&11&14&17&20hline yi&1&2&5&2&8&7&6&9&12
Calculamos
sum xiyi =688, sum xi^2 =1211
Logo
a1 = 6881211 approx0,568

Passo 5

O ajuste final é
boxedy approx 0,568,x
Graficamente, os pontos (xi,yi) ficam espalhados e a reta de ajuste, passando pela origem com inclinação 0,568, aproxima bem a tendência dos dados.

Resposta

O coeficiente de regressão é
a1 = sum xiyisum xi^2 = 6881211 approx 0,568,
de modo que a reta de mínimos quadrados sem intercepto é
y = 0,568,x

Exercícios de Livros Relacionados