Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as Equações (17.15) e (17.16), deduza um ajuste por mínimos quadrados para o seguinte modelo:
Isto é, determine a inclinação que resulta no ajuste por mínimos quadrados para uma reta com intersecção nula com o eixo
. Ajuste os seguintes dados com esse modelo e mostre o resultado graficamente:
2
4
6
7
10
11
14
17
20
1
2
5
2
8
7
6
9
12
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2 | 4 | 6 | 7 | 10 | 11 | 14 | 17 | 20 |
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1 | 2 | 5 | 2 | 8 | 7 | 6 | 9 | 12 |
Passo 1
O enunciado pede um ajuste por mínimos quadrados para o modelo
isto é, uma reta que passa pela origem (interceptação nula). O conteúdo da matéria é regressão linear simples sem termo constante. Para resolver, precisamos:
. Escrever a soma dos quadrados dos resíduos
. Minimizar essa soma em relação a
. Resolver a equação normal resultante
. Aplicar ao conjunto de dados dado
Passo 2
Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 3
Da condição de ótimo obtemos a equação normal
Passo 4
Agora aplicamos aos dados
Calculamos
Logo
Passo 5
O ajuste final é
Graficamente, os pontos
ficam espalhados e a reta de ajuste, passando pela origem com inclinação
, aproxima bem a tendência dos dados.
Resposta
O coeficiente de regressão é
de modo que a reta de mínimos quadrados sem intercepto é