Utilize o algoritmo de fatoração L D L^{\prime} para descobrir uma fatoração da forma A=L D L^{\prime} para as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrrr}6 & 2 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 & -1 \\\\ -1 & 0 & -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração A = L D L' (onde L tem diagonal unitária e D é diagonal) para a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 & -1 \\\\ -1 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos aplicar o algoritmo LDL′ que, em cada estágio k, calcula
d_k = a_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{kj}^2\,d_j, \quad l_{ik} = \frac{1}{d_k}\Bigl(a_{ik} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{ij}l_{kj}\,d_j\Bigr), \quad i>k.

Passo 2

Para k=1 não há soma anterior, então
d_1 = a_{11} = 6.
As entradas da primeira coluna de L (exceto o 1 na diagonal) são
l_{21} = \frac{a_{21}}{d_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad l_{31} = \frac{a_{31}}{d_1} = \frac{1}{6}, \quad l_{41} = \frac{a_{41}}{d_1} = -\frac{1}{6}.

Passo 3

Para k=2 temos
d_2 = a_{22} - l_{21}^2\,d_1 = 4 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}\cdot 6 = 4 - \tfrac{6}{9} = \tfrac{10}{3}.
E as entradas da coluna 2 de L para i>2:
l_{32} = \frac{a_{32} - l_{31}l_{21}\,d_1}{d_2} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot6\bigr)}{10/3} = \frac{2/3}{10/3} = \frac{1}{5},
l_{42} = \frac{a_{42} - l_{41}l_{21}\,d_1}{d_2} = \frac{0 - \bigl(-\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot6\bigr)}{10/3} = \frac{1/3}{10/3} = \frac{1}{10}.

Passo 4

Para k=3 calculamos
d_3 = a_{33} - \bigl(l_{31}^2\,d_1 + l_{32}^2\,d_2\bigr) = 4 - \Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}\!6 - \Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{2}\!\tfrac{10}{3} = 4 - \tfrac{1}{6} - \tfrac{2}{15} = \frac{37}{10}.
E
l_{43} = \frac{a_{43} - \bigl(l_{41}l_{31}\,d_1 + l_{42}l_{32}\,d_2\bigr)}{d_3} = \frac{-1 - \bigl(-\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\cdot6 + \tfrac{1}{10}\cdot\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{10}{3}\bigr)}{37/10} = -\frac{9}{37}.

Passo 5

Finalmente, para k=4,
d_4 = a_{44} - \sum_{j=1}^3 l_{4j}^2\,d_j = 3 - \Bigl(\tfrac{1}{36}\cdot6 + \tfrac{1}{100}\cdot\tfrac{10}{3} + \tfrac{81}{1369}\cdot\tfrac{37}{10}\Bigr) = 3 - \frac{31}{74} = \frac{191}{74}.

Resposta

A fatoração A = L\,D\,L' é dada por
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] \tfrac{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\[6pt] \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{5} & 1 & 0 \\[6pt] -\tfrac{1}{6}& \tfrac{1}{10}& -\tfrac{9}{37} & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{10}{3} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{37}{10} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{191}{74} \end{pmatrix}.]

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