Utilize o algoritmo de fatoração L D L^{\prime} para descobrir uma fatoração da forma A=L D L^{\prime} para as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr}4 & -1 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração do simétrico
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1\\\\ -1 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
na forma A = L\,D\,L^{\prime} usando o algoritmo LDL^{\prime}. Precisamos determinar progressivamente os pivôs d_k e os coeficientes l_{ik} que preenchem L.

Passo 2

No passo k=1, o pivô é
d_{1} = A_{11} = 4.
Os multiplicadores da primeira coluna são
l_{21} = \frac{A_{21}}{d_{1}} = \frac{-1}{4}, \quad l_{31} = \frac{A_{31}}{d_{1}} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Formamos a parte reduzida (Schur) para as linhas e colunas 2,3:
S_{ij} = A_{ij} - l_{i1}\,l_{j1}\,d_{1}, \quad i,j=2,3.
Isso dá
S_{22} = 3 - \Bigl(\tfrac{-1}{4}\Bigr)^2 \cdot 4 = 3 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4},
S_{23} = 0 - \Bigl(\tfrac{-1}{4}\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)\cdot4 = \tfrac{1}{4},
S_{33} = 2 - \Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^2 \cdot 4 = 2 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}.

Passo 4

No passo k=2, o pivô é
d_{2} = S_{22} = \tfrac{11}{4}.
O único multiplicador restante na segunda coluna é
l_{32} = \frac{S_{23}}{d_{2}} = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{11}{4}} = \frac{1}{11}.

Passo 5

Por fim, no passo k=3, o pivô é a entrada remanescente
d_{3} = S_{33} - l_{32}^2\,d_{2} = \tfrac{7}{4} - \Bigl(\tfrac{1}{11}\Bigr)^2\cdot \tfrac{11}{4} = \tfrac{7}{4} - \tfrac{11}{484} = \tfrac{209}{121}.

Passo 6

Reunindo os resultados, a matriz L com 1’s na diagonal e os l_{ij} abaixo da diagonal, e D=\operatorname{diag}(d_{1},d_{2},d_{3}), são
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[6pt] -\tfrac{1}{4} & 1 & 0\\[6pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{11} & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac{11}{4} & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{209}{121} \end{pmatrix}.]

Resposta

A fatoração A = L\,D\,L^{\prime} é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{1}{4} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{11} & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac{11}{4} & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{209}{121} \end{pmatrix}.

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