Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em [-\pi, \pi] para as seguintes funções:
f(x)=|x|

Passo 1

O enunciado pede o polinômio trigonométrico de grau quatro em [-\pi,\pi] que interpola a função f(x)=|x|, usando o algoritmo da FFT para obter os coeficientes. Em essência, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier truncada em k=4, que coincide neste caso com o interpolador trigonométrico de grau \le4.

Passo 2

Como f(x)=|x| é função par, sua série de Fourier em [-\pi,\pi] só tem termos em cosseno. Em notação usual de série de Fourier,
f(x) = \frac{a_0}{2} \;+\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx),
onde
a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(kx)\,dx, \quad b_k=0.
Para obter numericamente esses a_k até k=4, poderíamos amostrar f em N=8 pontos equiespaçados e aplicar FFT ao vetor \{f(x_j)\}, mas neste caso é mais direto calcular os a_k por integração exata.

Passo 3

Calcular o termo constante a_0.
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac{2}{\pi}\,\frac{\pi^2}{2} =\pi.
Logo o termo constante na série é \frac{a_0}{2} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular a_k para k\ge1. Como f é par,
a_k = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(kx)\,dx.
Fazendo integração por partes:
\int_{0}^{\pi}x\cos(kx)\,dx =\Bigl[x\,\frac{\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(kx)}{k}\,dx =\frac{(-1)^k-1}{k^2}.
Portanto
a_k = \frac{2}{\pi}\,\frac{(-1)^k-1}{k^2}.
Disto segue:
  • Se k é par, (-1)^k-1=0\implies a_k=0.
  • Se k é ímpar, (-1)^k-1=-2\implies a_k=-\frac{4}{\pi\,k^2}.

Passo 5

Truncando a série em k=4 (grau quatro) e lembrando que a_2=a_4=0, obtemos
T_4(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{4}a_k\cos(kx) =\frac{\pi}{2} +\Bigl(-\frac{4}{\pi\cdot1^2}\Bigr)\cos(x) +\Bigl(-\frac{4}{\pi\cdot3^2}\Bigr)\cos(3x).
Simplificando,
T_4(x) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\cos(x) -\frac{4}{9\pi}\cos(3x).

Resposta

T_4(x) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\cos(x) -\frac{4}{9\pi}\cos(3x).

Exercícios de Livros Relacionados