Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio trigonométrico de grau quatro em
que interpola a função
, usando o algoritmo da FFT para obter os coeficientes. Em essência, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier truncada em
, que coincide neste caso com o interpolador trigonométrico de grau
.
Passo 2
Como
é função par, sua série de Fourier em
só tem termos em cosseno. Em notação usual de série de Fourier,
onde
Para obter numericamente esses
até
, poderíamos amostrar
em
pontos equiespaçados e aplicar FFT ao vetor
, mas neste caso é mais direto calcular os
por integração exata.
Passo 3
Calcular o termo constante
.
Logo o termo constante na série é
.
Passo 4
Calcular
para
. Como
é par,
Fazendo integração por partes:
Portanto
Disto segue:
- Se
é par, . - Se
é ímpar,
Passo 5
Truncando a série em
(grau quatro) e lembrando que
, obtemos
Simplificando,