Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para construir o polinômio trigonométrico interpolador de grau
em
para
usando o algoritmo da FFT.
Conteúdo envolvido: interpolação trigonométrica em pontos equiespaçados, cálculo dos coeficientes via transformada discreta de Fourier (FFT), e montagem do polinômio na forma
Conteúdo envolvido: interpolação trigonométrica em pontos equiespaçados, cálculo dos coeficientes via transformada discreta de Fourier (FFT), e montagem do polinômio na forma
Passo 2
Escolhemos
pontos equiespaçados em
:
Em cada ponto calculamos
.
Passo 3
Formamos o vetor de dados
e aplicamos a FFT de tamanho
. Se chamarmos o resultado de
então os coeficientes complexos do polinômio trigonométrico são
com interpretação periódica
.
Passo 4
Convertendo os
em coeficientes reais de cosseno e seno, sabemos que para
:
e o termo constante
Passo 5
Assim obtemos explicitamente
onde
Passo 6
Na prática, basta chamar uma rotina FFT para obter os
e então calcular
O polinômio
está, então, completamente determinado por esses
.
Resposta
O polinômio trigonométrico interpolador de grau 4 é
com
e
.
Basta usar FFT para computar e então extrair
conforme descrito.
Basta usar FFT para computar