Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em [-\pi, \pi] para as seguintes funções:
f(x)=x \cos x^{2}+e^{x} \cos e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para construir o polinômio trigonométrico interpolador de grau 4 em [-\pi,\pi] para
f(x)=x\cos\bigl(x^2\bigr)+e^x\cos\bigl(e^x\bigr),
usando o algoritmo da FFT.
Conteúdo envolvido: interpolação trigonométrica em pontos equiespaçados, cálculo dos coeficientes via transformada discreta de Fourier (FFT), e montagem do polinômio na forma
P_4(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{4}\bigl[a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr].

Passo 2

Escolhemos N=2\cdot4+1=9 pontos equiespaçados em [-\pi,\pi):
x_j=-\pi+\frac{2\pi}{9}\,j,\quad j=0,1,\dots,8.
Em cada ponto calculamos f_j=f(x_j).

Passo 3

Formamos o vetor de dados
\bigl(f_0,f_1,\dots,f_8\bigr)
e aplicamos a FFT de tamanho N=9. Se chamarmos o resultado de
\bigl(C_0,C_1,\dots,C_8\bigr)=\mathrm{FFT}\bigl(f_0,\dots,f_8\bigr),
então os coeficientes complexos do polinômio trigonométrico são
c_k=\frac{1}{9}C_k,\quad k=0,1,\dots,8,
com interpretação periódica c_{-m}=c_{9-m}.

Passo 4

Convertendo os c_k em coeficientes reais de cosseno e seno, sabemos que para k=1,\dots,4:
a_k=2\,\Re(c_k),\quad b_k=-2\,\Im(c_k),
e o termo constante
a_0=2\,c_0=2\,\Re(c_0).

Passo 5

Assim obtemos explicitamente
P_4(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{4}\bigl[a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr],
onde
a_0=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f_j, \quad a_k=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f_j\cos(kx_j), \quad b_k=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f_j\sin(kx_j).

Passo 6

Na prática, basta chamar uma rotina FFT para obter os C_k e então calcular
a_0=2\,\Re\bigl(C_0/9\bigr), \quad a_k=2\,\Re\bigl(C_k/9\bigr), \quad b_k=-2\,\Im\bigl(C_k/9\bigr), \quad k=1,\dots,4.
O polinômio P_4(x) está, então, completamente determinado por esses a_k,b_k.

Resposta

O polinômio trigonométrico interpolador de grau 4 é
P_4(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{4}\bigl[a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr],
com
a_0=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f(x_j),\quad a_k=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f(x_j)\cos(kx_j),\quad b_k=\frac{2}{9}\sum_{j=0}^{8}f(x_j)\sin(kx_j),
e x_j=-\pi+\tfrac{2\pi}{9}j.
Basta usar FFT para computar \{C_k\} e então extrair a_k,b_k conforme descrito.

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