Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. O conteúdo necessário é a teoria de diferenciabilidade em duas variáveis, que diz que somas, produtos, quocientes (quando o denominador é não nulo) e composições de funções diferenciáveis são diferenciáveis.
Passo 2
Definimos as funções auxiliares
Então
e
Para usar o quociente precisamos de
. No ponto
temos
logo existe um entorno de
onde
permanece não nulo e a divisão é bem definida.
Passo 3
As funções
,
e
são polinômios em
, logo de classe
. As funções
e
também são de classe
em todo o domínio real.
Pela regra do quociente, é
onde
. Pela regra da cadeia,
é
em todo . Finalmente, o produto
Pela regra do quociente,
é combinação de funções
, portanto também é
em qualquer ponto onde está definida.
Resposta
A função
é diferenciável em
, pois ali ela é de classe
.