Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta.
11 f(x, y)=x y^2x+y cos e^x^2+y^2 em(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x,y^2x+y,cosl(e^x^2+y^2r)
é diferenciável no ponto (1,1). O conteúdo necessário é a teoria de diferenciabilidade em duas variáveis, que diz que somas, produtos, quocientes (quando o denominador é não nulo) e composições de funções diferenciáveis são diferenciáveis.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
g(x,y)=x,y^2,
h(x,y)=x+y,
r(x,y)=x^2+y^2,
p(t)=e^t,
q(u)=cos(u)
Então
x,y^2x+y = g(x,y)h(x,y),
e
cosl(e^x^2+y^2r) = ql(p(r(x,y))r)
Para usar o quociente precisamos de h(x,y)neq0. No ponto (1,1) temos
h(1,1)=1+1=2neq0,
logo existe um entorno de (1,1) onde h permanece não nulo e a divisão é bem definida.

Passo 3

As funções , e são polinômios em , logo de classe . As funções e também são de classe em todo o domínio real.
Pela regra do quociente, é onde . Pela regra da cadeia, é em todo . Finalmente, o produto
é combinação de funções , portanto também é em qualquer ponto onde está definida.

Resposta

A função f é diferenciável em (1,1), pois ali ela é de classe C^infty.

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