Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta. .
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=l|x,y^2r|
e pede para verificar se ela é diferenciável no ponto (0,1). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de derivada parcial e o critério de existência do diferencial (aproximação linear).
Passo 2
Observe que
f(x,y)=l|x,y^2r| = y^2,|x|
Essa forma mostra que a dependência em x está toda em |x|, o que já sugere possível não diferenciabilidade em x=0, salvo multiplicação por y^2.
Passo 3
Calcule a derivada parcial em relação a x em (0,1) pela definição:
Esse limite vale 1 quando h>0 e -1 quando h<0, logo não existe.
Passo 4
Como a derivada parcial partial f/partial x não existe em (0,1), não há nenhuma forma linear que aproxime f naquele ponto; portanto f não é diferenciável em (0,1).
Resposta
A função f(x,y)=l|x,y^2r| não é diferenciável no ponto (0,1).
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 16.Conjunto de Problemas 5 - Ex. 8