Verifique se cada função é diferenciável no ponto indicado. Justifique sua resposta.
8 f(x, y)=|x y^2| em(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=l|x,y^2r|
e pede para verificar se ela é diferenciável no ponto (0,1). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de derivada parcial e o critério de existência do diferencial (aproximação linear).

Passo 2

Observe que
f(x,y)=l|x,y^2r| = y^2,|x|
Essa forma mostra que a dependência em x está toda em |x|, o que já sugere possível não diferenciabilidade em x=0, salvo multiplicação por y^2.

Passo 3

Calcule a derivada parcial em relação a x em (0,1) pela definição:
partial fpartial x(0,1) =limhto0f(0+h,1)-f(0,1)h =limhto0|h|cdot1^2-0h =limhto0|h|h
Esse limite vale 1 quando h>0 e -1 quando h<0, logo não existe.

Passo 4

Como a derivada parcial partial f/partial x não existe em (0,1), não há nenhuma forma linear que aproxime f naquele ponto; portanto f não é diferenciável em (0,1).

Resposta

A função f(x,y)=l|x,y^2r| não é diferenciável no ponto (0,1).

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