Use a aproximação linear para estimar f(x0+De<a x, y0+De<a y) para cada função f e para os valores indicados de x0, y0, De<a x e De<a y.
5 f(x, y)=y cdot tan ^-1(x y): x0=2 cdot y0=12 cdot De<a x=-115, De<a y=-110 cdot

Passo 1

O enunciado pede para usar a aproximação linear (ou diferencial total) para estimar
f(x0+De<a x,;y0+De<a y)approx f(x0,y0)+fx(x0,y0),De<a x+fy(x0,y0),De<a y
para a função
f(x,y)=y;tan^-1(x,y)
com x0=2, y0=tfrac12, De<a x=-tfrac115 e De<a y=-tfrac110.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto (x0,y0):
f(2,tfrac12)=tfrac12;tan^-1l(2cdottfrac12r) =tfrac12;tan^-1(1) =tfrac12;pi4 =pi8

Passo 3

Obter as derivadas parciais de f(x,y)=y;tan^-1(xy):
fx(x,y) =y;11+(xy)^2;partialpartial x(xy) =y^21+(xy)^2,
fy(x,y) =tan^-1(xy) +y;11+(xy)^2;partialpartial y(xy) =tan^-1(xy)+x,y1+(xy)^2

Passo 4

Avaliar fx e fy em (2,tfrac12), onde xy=1 e 1+(xy)^2=2:
fx(2,tfrac12) =l(tfrac12r)^22 =1/42 =18,
fy(2,tfrac12) =tan^-1(1)+2cdottfrac122 =pi4+12

Passo 5

Aplicar a fórmula da aproximação linear:
f(2+De<a x,tfrac12+De<a y)approx pi8 +18l(-115r) +l(pi4+12r)l(-110r)
Calculando termo a termo:
18l(-115r)=-1120, l(pi4+12r)l(-110r) =-pi40-120
Somando tudo:
pi8-pi40 =5pi- pi40 =4pi40 =pi10, -120-1120 =-6+1120 =-7120
Logo
f(2-tfrac115,tfrac12-tfrac110) approxpi10-7120

Resposta

fl(2-tfrac115,tfrac12-tfrac110r) approxpi10-7120

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