Sejam os quatro pontos (1,0),(2, a),(3,10),(4, b) de um polinômio de grau 2. Se L2(x) for o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos de abscissas 1,2 e 3 , então L2(4)=b.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre polinômios de grau 2 (quadráticos) e o polinômio de Lagrange. A questão nos dá quatro pontos: (1,0), (2, a), (3,10) e (4, b), que estão todos em um polinômio de grau 2. A gente precisa usar o polinômio de Lagrange, que passa pelos três primeiros pontos, para descobrir o valor de b quando x = 4.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o polinômio de Lagrange. É uma maneira de encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, queremos um polinômio que passe pelos pontos (1,0), (2, a) e (3,10). Esse polinômio vai ter grau 2 porque temos três pontos.

Passo 3

Agora, vamos construir o polinômio de Lagrange L2(x) usando os pontos que a gente tem. A fórmula geral do polinômio de Lagrange para três pontos é:
L2(x) = y0 cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + y1 cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + y2 cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
Substituindo os valores dos nossos pontos:
  • (x0, y0) = (1, 0)
  • (x1, y1) = (2, a)
  • (x2, y2) = (3, 10)
Ficamos com:
L2(x) = 0 cdot (x - 2)(x - 3)(1 - 2)(1 - 3) + a cdot (x - 1)(x - 3)(2 - 1)(2 - 3) + 10 cdot (x - 1)(x - 2)(3 - 1)(3 - 2)
Simplificando cada termo:
  1. O primeiro termo é zero porque está multiplicado por 0.
  2. O segundo termo: a cdot (x - 1)(x - 3)(1)(-1) = -a(x - 1)(x - 3)
  3. O terceiro termo: 10 cdot (x - 1)(x - 2)(2)(1) = 5(x - 1)(x - 2)
Então, o polinômio fica:
L2(x) = -a(x - 1)(x - 3) + 5(x - 1)(x - 2)

Passo 4

A gente precisa encontrar o valor de b, que é o valor de L2(x) quando x = 4. Vamos substituir x por 4 na expressão que montamos:
L2(4) = -a(4 - 1)(4 - 3) + 5(4 - 1)(4 - 2)
Calculando cada parte:
  1. (4 - 1) = 3
  2. (4 - 3) = 1
  3. (4 - 2) = 2
Substituindo:
L2(4) = -a cdot 3 cdot 1 + 5 cdot 3 cdot 2 = -3a + 30
Então, temos que b = -3a + 30.

Resposta

O valor de b é b = -3a + 30.

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