Sejam os quatro pontos
de um polinômio de grau 2. Se
for o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos de abscissas 1,2 e 3 , então
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre polinômios de grau 2 (quadráticos) e o polinômio de Lagrange. A questão nos dá quatro pontos:
,
,
e
, que estão todos em um polinômio de grau 2. A gente precisa usar o polinômio de Lagrange, que passa pelos três primeiros pontos, para descobrir o valor de
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o polinômio de Lagrange. É uma maneira de encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, queremos um polinômio que passe pelos pontos
,
e
. Esse polinômio vai ter grau 2 porque temos três pontos.
Passo 3
Agora, vamos construir o polinômio de Lagrange
usando os pontos que a gente tem. A fórmula geral do polinômio de Lagrange para três pontos é:
Substituindo os valores dos nossos pontos:
Ficamos com:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo é zero porque está multiplicado por 0.
- O segundo termo:
- O terceiro termo:
Então, o polinômio fica:
Passo 4
A gente precisa encontrar o valor de
, que é o valor de
quando
. Vamos substituir
por 4 na expressão que montamos:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Então, temos que
.
Resposta
O valor de
é
.