+11.
Se 0<a<1 / 4, s1=0 e sn+1=a+sn ^2, ache lim n infty s.

Passo 1

O enunciado define a sequência sn por
s1 = 0, sn+1 = a + sn^2,
onde 0 < a < tfrac14.
O que precisamos é estudar a convergência dessa sequência e encontrar seu limite L. Para isso vamos usar o fato de que, se ela converge, o limite deve satisfazer a equação de ponto-fixo
L = a + L^2

Passo 2

Encontramos os pontos-fixos resolvendo
L = a + L^2 ;Long<=ftrightarrow; L^2 - L + a = 0
Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
L = 1 pm raiz1 - 4a2
Denotemos
L1 = 1 - raiz1 - 4a2, L2 = 1 + raiz1 - 4a2

Passo 3

Mostramos que sn é crescente. Como s1 = 0, temos
s2 = a + s1^2 = a > 0 = s1
Supondo sn > sn-1, então
sn+1 = a + sn^2 > a + sn-1^2 = sn,
pois a função xmapsto a + x^2 é estritamente crescente para x>=0. Logo, por indução, sn+1 > sn para todo n.

Passo 4

Mostramos que sn é limitada superiormente por L1. Primeiro, note que s1=0<L1. Suponha sn < L1; então
sn+1 = a + sn^2 < a + L1^2
Mas da equação de ponto-fixo para L1 temos L1 = a + L1^2. Portanto
sn+1 < L1
Assim, por indução, sn < L1 para todo n.
Como sn é crescente e limitada acima, ela converge para algum L<= L1.

Passo 5

O limite L deve satisfazer L = a + L^2. Dessas duas raízes, L2 é maior que 1/2 e não pode ser alcançada partindo de s1=0 sob iterações de a+x^2 (ela está acima de toda a sequência). Logo o único limite possível é
L = L1 = 1 - raiz1 - 4a2

Resposta

limntoinfty sn = 1 - raiz1 - 4a2

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