+11.
Se
e
, ache
.
Se
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
onde
.
O que precisamos é estudar a convergência dessa sequência e encontrar seu limite . Para isso vamos usar o fato de que, se ela converge, o limite deve satisfazer a equação de ponto-fixo
O que precisamos é estudar a convergência dessa sequência e encontrar seu limite
Passo 2
Encontramos os pontos-fixos resolvendo
Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
Denotemos
Passo 3
Mostramos que
é crescente. Como
, temos
Supondo
, então
pois a função
é estritamente crescente para
. Logo, por indução,
para todo
.
Passo 4
Mostramos que
é limitada superiormente por
. Primeiro, note que
. Suponha
; então
Mas da equação de ponto-fixo para
temos
. Portanto
Assim, por indução,
para todo
.
Como
é crescente e limitada acima, ela converge para algum
.
Passo 5
O limite
deve satisfazer
. Dessas duas raízes,
é maior que 1/2 e não pode ser alcançada partindo de
sob iterações de
(ela está acima de toda a sequência). Logo o único limite possível é