Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
2^nn^2 ln 2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 2^nn^2ln(2n)
e pede para classificar seu comportamento quando ntoinfty. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, e vamos usar o teste da razão para determinar se ela converge, diverge para +infty, diverge para -infty ou diverge sem limite infinito.

Passo 2

Vamos calcular a razão
an+1an = 2^,n+1/l((n+1)^2lnl(2(n+1)r)r)2^n/l(n^2ln(2n)r) =2;n^2(n+1)^2;ln(2n)lnl(2(n+1)r)
Quando ntoinfty, temos
n^2(n+1)^2to1 e ln(2n)lnl(2(n+1)r)to1,
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limntoinftyan+1an=2

Passo 3

Como o limite da razão é maior que 1, isto é
limntoinftyan+1an=2>1,
a sequência cresce sem parar e seu termo geral tende a +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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