Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
5^n-4^n3^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = 5^n - 4^n3^n
em termos de convergência ou divergência (para +infty, para -infty ou sem limite infinito). Vamos usar propriedades de potências e limites de sequências exponenciais.

Passo 2

Escrevemos
an = 5^n3^n ;-; 4^n3^n ;;=;;( tfrac53 )^n ;-; ( tfrac43 )^n

Passo 3

Note que
tfrac53>1 e tfrac43>1,
logo ambas as parcelas (tfrac53)^n e (tfrac43)^n crescem sem limite, tendendo a +infty. No entanto, (tfrac53)^n cresce mais rápido que (tfrac43)^n. Para ver isso de forma rigorosa, fatoramos:
an = l(tfrac53r)^n l[,1 - l(tfrac45r)^nr]
Como tfrac45<1, temos l(tfrac45r)^nto0, então
an sim l(tfrac53r)^ncdot1,
e portanto anto+infty.

Passo 4

Concluímos que a sequência diverge para +infty.

Resposta

A sequência 5^n-4^n3^n diverge para +infty.

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