Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
n!-1n!+1

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
an = n! - 1n! + 1
e pede para classificá-la em convergente, divergente para +infty ou -infty, ou divergente sem limite infinito. O conteúdo aqui é análise de limite de sucessão e vamos usar propriedades do fatorial e limites de funções racionais.

Passo 2

Reescrevemos an de forma que fique evidente o comportamento quando ntoinfty. Note que
n! - 1n! + 1 = n! + 1 - 2n! + 1 = 1 - 2n! + 1

Passo 3

Como sabemos que
n! to infty quando n to infty,
então
n! + 1 to infty Longrightarrow 2n! + 1 to 0

Passo 4

Substituindo no termo reescrito, temos
an = 1 - 2n! + 1 ;longrightarrow; 1 - 0 = 1
Logo an converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 1.

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