ṭ13. Demonstre: Se uma sucessão complexa
satisfaz à condição de Cauchy, então
converge. (Sugestão. Seja
, mostre que
e
satisfazem à condição de Cauchy.)
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência complexa
que satisfaz à condição de Cauchy, isto é, para todo
existe
tal que, para
, vale
.
Precisamos mostrar que converge em
. Vamos decompor cada termo em parte real e imaginária:
e usar a completude de
.
Precisamos mostrar que
Passo 2
Dado
, pela condição de Cauchy existe
tal que, para
,
.
Então
e
.
Logo e
satisfazem à condição de Cauchy em
.
Então
e
Logo
Passo 3
Como
é completo, toda sequência de Cauchy em
converge. Logo existem
tais que
e
.
e
Passo 4
Defina
. Para mostrar
, basta notar que
Dado
, escolha
tal que, para
, vale
e
. Então para
,
o que demonstra a convergência de .
o que demonstra a convergência de
Resposta
Portanto, toda sequência complexa de Cauchy converge em
.