ṭ13. Demonstre: Se uma sucessão complexa zn satisfaz à condição de Cauchy, então zn converge. (Sugestão. Seja zn=xn+i yn, mostre que xn e yn satisfazem à condição de Cauchy.)

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência complexa zn que satisfaz à condição de Cauchy, isto é, para todo varepsilon>0 existe N tal que, para m,n>N, vale
lvert zm - znrvert<varepsilon.
Precisamos mostrar que zn converge em C. Vamos decompor cada termo em parte real e imaginária: zn = xn + i,yn e usar a completude de R.

Passo 2

Dado varepsilon>0, pela condição de Cauchy existe N tal que, para m,n>N,
lvert zm - znrvert<varepsilon.
Então
lvert xm - xnrvert <= lvert zm - znrvert<varepsilon
e
lvert ym - ynrvert <= lvert zm - znrvert<varepsilon.
Logo xn e yn satisfazem à condição de Cauchy em R.

Passo 3

Como R é completo, toda sequência de Cauchy em R converge. Logo existem x,yinR tais que
limntoinftyxn = x
e
limntoinftyyn = y.

Passo 4

Defina z = x + i,y. Para mostrar limntoinftyzn = z, basta notar que
lvert zn - zrvert = lvert (xn - x) + i,(yn - y)rvert <= lvert xn - xrvert + lvert yn - yrvert
Dado varepsilon>0, escolha N tal que, para n>N, vale lvert xn - xrvert<varepsilon/2 e lvert yn - yrvert<varepsilon/2. Então para n>N
lvert zn - zrvert < tfracvarepsilon2 + tfracvarepsilon2 = varepsilon,
o que demonstra a convergência de zn.

Resposta

Portanto, toda sequência complexa de Cauchy converge em C.

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