Prove que, se
é uma sucessão monótona estritamente crescente de números inteiros e
, então
para todo
. (Sugestão. Use indução.)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma sucessão
de números inteiros que é estritamente crescente (ou seja,
para todo
) e satisfaz
. Preciso mostrar que
O método sugerido é a indução matemática.
Passo 2
Base da indução (
):
Pelo enunciado, . Logo,
Pelo enunciado,
é exatamente o que queremos para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, valha
Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Usando que a sucessão é estritamente crescente, temos
Mas pela hipótese indutiva
, então
Isso mostra que, se
, então
.
Passo 5
Concluímos por indução que a propriedade se mantém para todo
:
Resposta
Pela indução matemática,
para todo
.