Prove que, se tn é uma sucessão monótona estritamente crescente de números inteiros e t1 >= 1, então tn >= n para todo n. (Sugestão. Use indução.)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma sucessão tn de números inteiros que é estritamente crescente (ou seja, tn+1>tn para todo n) e satisfaz t1>=1. Preciso mostrar que
tn>= npara todo (n)
O método sugerido é a indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
Pelo enunciado, t1>=1. Logo,
t1>=1
é exatamente o que queremos para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k>=1, valha
tk>= k
Essa é a hipótese de indução.

Passo 4

Usando que a sucessão é estritamente crescente, temos
tk+1>= tk+1
Mas pela hipótese indutiva tk>= k, então
tk+1>= k+1
Isso mostra que, se tk>= k, então tk+1>= k+1.

Passo 5

Concluímos por indução que a propriedade se mantém para todo n:
tn>= n

Resposta

Pela indução matemática, tn>= n para todo n.

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