Seja
rrrr 1 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & -2 & 1 3 & 3 & 4 & 1 4 & 5 & 7 & 6

Passo 1

O enunciado dá uma matriz Min R^4times4 e pede os cofatores
D13, D24, D32, D43
O conteúdo da matéria é o cálculo de cofatores, que envolve extrair menores (matrizes 3times3) e aplicar o fator de sinal ( -1)^i+j. Vamos precisar montar cada submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j, calcular seu determinante e depois multiplicar por ( -1)^i+j.

Passo 2

Definimos o cofactor Dij como
Dij = (-1)^i+j,Mij,
onde Mij é o determinante da matriz obtida de M ao suprimir a linha i e a coluna j.

Passo 3

Cálculo de D13: suprimimos a linha 1 e a coluna 3, ficando a submatriz
0 & 2 & 1 3 & 3 & 1 4 & 5 & 6
O determinante desse menor é
M13 =0cdotdet3&15&6 -2cdotdet3&14&6 +1cdotdet3&34&5 =-2,(18-4)+(15-12)=-28+3=-25
Logo
D13=(-1)^1+3M13=(-1)^4cdot(-25)=-25

Passo 4

Cálculo de D24: suprimimos a linha 2 e a coluna 4, ficando
1 & -1 & 0 3 & 3 & 4 4 & 5 & 7
Seu determinante é
M24 =1cdotdet3&45&7 -(-1)cdotdet3&44&7 +0 =(21-20)+(21-16)=1+5=6
Assim
D24=(-1)^2+4M24=(-1)^6cdot6=6

Passo 5

Cálculo de D32: suprimimos a linha 3 e a coluna 2, obtendo
1 & 0 & 0 0 & -2 & 1 4 & 7 & 6
O determinante é
M32 =1cdotdet-2&17&6 =1cdot(-12-7)=-19,
e
D32=(-1)^3+2M32=(-1)^5cdot(-19)=19

Passo 6

Cálculo de D43: suprimimos a linha 4 e a coluna 3, ficando
1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & 3 & 1
Determinante:
M43 =1cdotdet2&13&1 -(-1)cdotdet0&13&1 =(2-3)+(0-3)=-1-3=-4,
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D43=(-1)^4+3M43=(-1)^7cdot(-4)=4

Resposta

D13=-25
D24=6
D32=19
D43=4

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