Prove que, se (1x+y, 1y+z, 1z+x) é uma P.A., então (z^2, x^2, y^2) também é.

Passo 1

O enunciado afirma que o triplo
l(tfrac1x+y,;tfrac1y+z,;tfrac1z+xr)
é uma P.A. e pede para mostrar que
(z^2,,x^2,,y^2)
também é P.A. Lembrando que um triplo (a,b,c) é P.A. se, e somente se,
2b = a + c

Passo 2

Da hipótese de P.A. para
l(tfrac1x+y,tfrac1y+z,tfrac1z+xr)
temos
2cdot1y+z = 1x+y + 1z+x
Multiplicando ambos os lados por (x+y)(y+z)(z+x) para eliminar denominadores, obtemos
2,(x+y)(z+x) = (y+z)l[(z+x)+(x+y)r]

Passo 3

Expandindo cada lado:
Lado esquerdo:
2(x+y)(z+x) =2l(x^2 + xz + xy + yzr) =2x^2 + 2xy + 2xz + 2yz
Lado direito:
(y+z)(2x + y + z) =2xy + y^2 + yz + 2xz + yz + z^2 =2xy + 2xz + 2yz + y^2 + z^2
Igualando e cancelando 2xy+2xz+2yz em ambos os lados, vem
2x^2 = y^2 + z^2

Passo 4

A igualdade 2x^2 = y^2 + z^2 significa exatamente que, no triplo (z^2,,x^2,,y^2), o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Ou seja, (z^2,x^2,y^2) é P.A.

Resposta

(z^2,x^2,y^2) é uma progressão aritmética.

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