Qual é a soma dos múltiplos positivos de 7, com dois, três ou quatro algarismos?

Passo 1

O problema pede a soma de todos os múltiplos positivos de 7 que tenham dois, três ou quatro algarismos, isto é, todos os múltiplos de 7 nos intervalos [10,99], [100,999] e [1000,9999]. Em cada caso, os múltiplos formam uma progressão aritmética (PA) de razão ,7. Para somar os termos de cada PA, usaremos a fórmula:
S = n a1 + an2

Passo 2

Para os múltiplos de 7 de dois algarismos (intervalo [10,99]):
o primeiro múltiplo é ,14 e o último é ,98.
O número de termos é
n2 = 98 - 147 + 1 = 13
Logo, a soma desses termos é
S2 = n2 14 + 982 = 13 cdot 56 = 728

Passo 3

Para os múltiplos de 7 de três algarismos (intervalo [100,999]):
o primeiro múltiplo é ,105 e o último é ,994.
O número de termos é
n3 = 994 - 1057 + 1 = 128
Logo, a soma desses termos é
S3 = n3 105 + 9942 = 128 cdot 549,5 = 70336

Passo 4

Para os múltiplos de 7 de quatro algarismos (intervalo [1000,9999]):
o primeiro múltiplo é ,1001 e o último é ,9996.
O número de termos é
n4 = 9996 - 10017 + 1 = 1286
Logo, a soma desses termos é
S4 = n4 1001 + 99962 = 1286 cdot 5498,5 = 7071071

Passo 5

Somando as três partes, temos
S = S2 + S3 + S4 = 728 + 70336 + 7071071 = 7142135

Resposta

7142135

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