Para quais valores de
as séries abaixo convergem?
.
Passo 1
O enunciado dá uma série cujos termos de índice ímpar são positivos e de índice par são negativos, todos na forma
. Precisamos determinar para quais valores de
essa série converge. O conteúdo é séries alternadas e usaremos o Critério de Leibniz (teste de séries alternadas).
Passo 2
Reescrevemos a série, em ordem natural de
, como
Aqui o termo geral em módulo é
, e o sinal alterna conforme
.
Passo 3
Para aplicar o Critério de Leibniz precisamos de duas condições sobre
:
-
é monotona decrescente para grande. -
.
Note que
é decrescente assim que
, e satisfaz
exatamente quando
.
Passo 4
Concluímos que:
- Se
, então decresce a e a série alternada converge (Critério de Leibniz). - Se
, então e a série não converge.
Resposta
A série converge somente para
.