Para quais valores de alpha as séries abaixo convergem?
1+13^a-12^a+15^a+17^a-14^a++-ldots.

Passo 1

O enunciado dá uma série cujos termos de índice ímpar são positivos e de índice par são negativos, todos na forma 1n^alpha. Precisamos determinar para quais valores de alpha essa série converge. O conteúdo é séries alternadas e usaremos o Critério de Leibniz (teste de séries alternadas).

Passo 2

Reescrevemos a série, em ordem natural de n, como
sumn=1^infty(-1)^,n-11n^alpha
Aqui o termo geral em módulo é bn=1n^alpha, e o sinal alterna conforme (-1)^n-1.

Passo 3

Para aplicar o Critério de Leibniz precisamos de duas condições sobre bn:
  1. bn é monotona decrescente para n grande.
  2. limntoinftybn=0.
Note que bn=1n^alpha é decrescente assim que alpha>0, e satisfaz
limntoinfty1n^alpha=0
exatamente quando alpha>0.

Passo 4

Concluímos que:
  • Se alpha>0, então bn decresce a 0 e a série alternada converge (Critério de Leibniz).
  • Se alpha<=0, então limntoinftybnneq0 e a série não converge.

Resposta

A série converge somente para alpha>0.

Exercícios de Livros Relacionados