1. ABC é um triângulo obtusângulo no qual o ângulo \hat{\mathrm{A}}=120^{\circ}. Demonstrar que subsiste entre os lados desse triângulo a relação b\left(a^{2}-b^{2}\right)=c\left(a^{2}-\right. c^{2} ).

Passo 1

Temos um triângulo ABC com \hat A = 120^\circ e lados opostos a esses vértices dados por
a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB.
Para relacionar a, b e c, vamos aplicar a lei dos cossenos, que afirma em qualquer triângulo:
a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,\cos\hat A.

Passo 2

Como \hat A = 120^\circ, temos
\cos 120^\circ = -\frac12.
Substituindo na lei dos cossenos, obtemos
a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\!\bigl(-\tfrac12\bigr) = b^2 + c^2 + b\,c.

Passo 3

A partir de
a^2 = b^2 + c^2 + b\,c
calculamos os dois produtos:
b\bigl(a^2 - b^2\bigr) = b\bigl((b^2 + c^2 + b\,c) - b^2\bigr) = b\bigl(c^2 + b\,c\bigr) = b\,c\,(b + c),
c\bigl(a^2 - c^2\bigr) = c\bigl((b^2 + c^2 + b\,c) - c^2\bigr) = c\bigl(b^2 + b\,c\bigr) = b\,c\,(b + c).
Como ambos são iguais a b\,c\,(b + c), segue-se diretamente que
b\bigl(a^2 - b^2\bigr) = c\bigl(a^2 - c^2\bigr).

Resposta

b\bigl(a^2 - b^2\bigr) = c\bigl(a^2 - c^2\bigr).

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