ABCD é um quadrilátero inscritível em uma circunferência no qual a diagonal BD passa pelo ponto médio da diagonal AC . Demonstrar que AB \times A D=B C \times C D.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, cujas diagonais AC e BD se cruzam em M. Sabe-se que M é o ponto médio de AC, isto é,
AM = MC.
Queremos mostrar que
AB\cdot AD \;=\; BC\cdot CD.
Para isso vamos usar duas ferramentas clássicas em quadriláteros cíclicos: o Teorema das Cordas (Intersecting Chords) e o Teorema de Ptolemy.
Passo 2
Pelo Teorema das Cordas, na interseção M das cordas AC e BD da circunferência vale
BM\cdot MD \;=\; AM\cdot MC.
Como M é ponto médio de AC, temos AM=MC. Logo
BM\cdot MD = AM^2.
Passo 3
Pelo Teorema de Ptolemy aplicado a ABCD (cíclico),
AB\cdot CD \;+\; BC\cdot AD \;=\; AC\cdot BD.
Mas AC=2\,AM e BD=BM+MD. Substituindo,
AB\cdot CD + BC\cdot AD = 2\,AM\,(BM+MD). \tag{1}
Passo 4
Do passo 2 sabemos BM\cdot MD=AM^2. Podemos então escrever