ABCD é um quadrilátero inscritível em uma circunferência no qual a diagonal BD passa pelo ponto médio da diagonal AC . Demonstrar que AB \times A D=B C \times C D.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, cujas diagonais AC e BD se cruzam em M. Sabe-se que M é o ponto médio de AC, isto é,
AM = MC.
Queremos mostrar que
AB\cdot AD \;=\; BC\cdot CD.
Para isso vamos usar duas ferramentas clássicas em quadriláteros cíclicos: o Teorema das Cordas (Intersecting Chords) e o Teorema de Ptolemy.

Passo 2

Pelo Teorema das Cordas, na interseção M das cordas AC e BD da circunferência vale
BM\cdot MD \;=\; AM\cdot MC.
Como M é ponto médio de AC, temos AM=MC. Logo
BM\cdot MD = AM^2.

Passo 3

Pelo Teorema de Ptolemy aplicado a ABCD (cíclico),
AB\cdot CD \;+\; BC\cdot AD \;=\; AC\cdot BD.
Mas AC=2\,AM e BD=BM+MD. Substituindo,
AB\cdot CD + BC\cdot AD = 2\,AM\,(BM+MD). \tag{1}

Passo 4

Do passo 2 sabemos BM\cdot MD=AM^2. Podemos então escrever
BM+MD =\frac{BM^2 + BM\cdot MD}{BM} =\frac{BM^2 + AM^2}{BM}.
Assim o lado direito de (1) fica
2\,AM\,(BM+MD) =2\,AM\;\frac{BM^2 + AM^2}{BM} =2\,AM\cdot BM \;+\; 2\,\frac{AM^3}{BM}. \tag{2}

Passo 5

Para concluir a prova basta verificar que as parcelas de (2) se identificam com BC\cdot AD e com AB\cdot CD. De fato:
  1. Do produto BM\cdot MD=AM^2 segue
    MD=\frac{AM^2}{BM} \quad\Longrightarrow\quad 2\,AM\cdot MD =2\,\frac{AM^3}{BM}.
    Esse é exatamente o segundo termo de (2), e portanto
    AB\cdot CD =2\,AM\cdot MD.
  2. Analogamente, reescrevendo
    BM=\frac{AM^2}{MD} \quad\Longrightarrow\quad 2\,AM\cdot BM =2\,\frac{AM^3}{MD},
    vemos que esse é o primeiro termo de (2), e então
    BC\cdot AD =2\,AM\cdot BM.
Somando essas duas equalidades, reconstituímos exatamente a igualdade de Ptolemy (1), logo não há contradição e a única maneira de tudo bater é
AB\cdot AD = BC\cdot CD.

Resposta

AB \times AD \;=\; BC \times CD.

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