Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de
, de cada uma das seguintes porções de curvas.
cardióide
.
cardióide .
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao revolver em torno do eixo
para
a
.
O conteúdo aqui é área de superfície de revolução de curva paramétrica, usando a fórmula
Passo 2
Calculamos as derivadas paramétricas e o elemento de comprimento:
Então
Usando identidades de soma e diferença de ângulos mostra-se
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Passo 3
Expressamos
de forma conveniente:
O elemento de área é então
Isso simplifica para
Passo 4
Integramos de
a
:
Fazemos a mudança de variável
, de onde
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
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