Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
cardióide \\{\begin{array}{l}x=a(2 \cos \theta-\cos 2 \theta), \\\\\ y=a(2 \operatorname{sen} \theta-\operatorname{sen} 2 \theta) .\end{array} \quad \frac{128}{5} \pi a^{2}\right..

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao revolver em torno do eixo OX\) a porção da cardióide descrita parametricamente por \[\begin{cases} x=a\bigl(2\cos\theta-\cos2\theta\bigr),\\\ y=a\bigl(2\sin\theta-\sin2\theta\bigr), \end{cases}
para \theta\] de \(0 a \pi.
O conteúdo aqui é área de superfície de revolução de curva paramétrica, usando a fórmula
S=2\pi\int_{\theta_1}^{\theta_2}y(\theta)\,\sqrt{\bigl(x'(\theta)\bigr)^2+\bigl(y'(\theta)\bigr)^2}\;d\theta.

Passo 2

Calculamos as derivadas paramétricas e o elemento de comprimento:
\frac{dx}{d\theta} =a\bigl(-2\sin\theta+2\sin2\theta\bigr) =2a\bigl(-\sin\theta+\sin2\theta\bigr),
\frac{dy}{d\theta} =a\bigl(2\cos\theta-2\cos2\theta\bigr) =2a\bigl(\cos\theta-\cos2\theta\bigr).
Então
\bigl(x'(\theta)\bigr)^2+\bigl(y'(\theta)\bigr)^2 =4a^2\Bigl[\bigl(\sin2\theta-\sin\theta\bigr)^2+\bigl(\cos\theta-\cos2\theta\bigr)^2\Bigr].
Usando identidades de soma e diferença de ângulos mostra-se
\bigl(\sin2\theta-\sin\theta\bigr)^2+\bigl(\cos\theta-\cos2\theta\bigr)^2 =4\sin^2\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr),
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\sqrt{\bigl(x'(\theta)\bigr)^2+\bigl(y'(\theta)\bigr)^2} =4a\,\sin\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr).

Passo 3

Expressamos y(\theta) de forma conveniente:
y(\theta) =a\bigl(2\sin\theta-\sin2\theta\bigr) =2a\sin\theta\bigl(1-\cos\theta\bigr) =8a\,\sin^3\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr).
O elemento de área é então
dS =2\pi\,y(\theta)\,\sqrt{x'^2+y'^2}\;d\theta =2\pi\bigl[8a\,\sin^3(\tfrac\theta2)\cos(\tfrac\theta2)\bigr]\bigl[4a\,\sin(\tfrac\theta2)\bigr]d\theta.
Isso simplifica para
dS =64\pi\,a^2\,\sin^4\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\;d\theta.

Passo 4

Integramos de \theta=0 a \pi:
S =64\pi\,a^2\int_{0}^{\pi}\sin^4\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\;d\theta.
Fazemos a mudança de variável u=\sin(\tfrac\theta2), de onde du=\tfrac12\cos(\tfrac\theta2)\,d\theta, e quando \theta vai de 0 a \pi, u vai de 0 a 1. Então
\int_{0}^{\pi}\sin^4\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)d\theta =2\int_{0}^{1}u^4\,du =2\cdot\frac{u^5}{5}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{5}.
Logo
S =64\pi\,a^2\cdot\frac{2}{5} =\frac{128}{5}\,\pi\,a^2.

Resposta

\boxed{S=\frac{128}{5}\,\pi\,a^2.}

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