Achar as diferenciais das seguintes funções para quaisquer valores do argumento e de seu acréscimo:
y=\frac{x}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de y=f(x)=\dfrac{x}{1-x} para um incremento qualquer \mathrm{d}x e também o incremento exato \Delta y = f(x+\Delta x)-f(x). Vamos usar a regra do quociente para encontrar f'(x) e daí obter \mathrm{d}y, depois calcular \Delta y diretamente.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
y=\frac{x}{1-x},
temos
y'=\frac{(1-x)\cdot1 - x\cdot(-1)}{(1-x)^2} =\frac{1-x + x}{(1-x)^2} =\frac{1}{(1-x)^2}.

Passo 3

A diferencial é definida por \mathrm{d}y=y'(x)\,\mathrm{d}x. Substituindo y'(x), obtemos
\mathrm{d}y =\frac{1}{(1-x)^2}\,\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}.

Passo 4

Para o incremento exato, calculamos
\Delta y =\frac{x+\Delta x}{1 - x - \Delta x} -\frac{x}{1-x}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\Delta y =\frac{(x+\Delta x)(1-x) - x(1-x-\Delta x)}{(1-x-\Delta x)(1-x)} =\frac{\Delta x}{(1-x)(1-x-\Delta x)}.

Resposta

A diferencial e o incremento exato são, respectivamente:
\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}, \qquad \Delta y=\frac{\Delta x}{(1-x)(1-x-\Delta x)}.

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